Algèbre sur un corps - Définition

Introduction

En mathématiques, une algèbre sur un corps commutatif est une structure algébrique qui se définit comme suit:

est une algèbre sur le corps , ou simplement une - algèbre si :

1. est un corps commutatif,
2. (A, +, ·) est un espace vectoriel sur ,
3. la loi × est définie de A x A dans A (loi de composition interne)
4. la loi × est distributive par rapport à la loi + .
5. pour tout (a, b) dans et pour tout (x, y) dans A², (a·x)×(b·y) = (ab)·(x×y)

Définitions

Soient un corps commutatif et A un espace vectoriel sur contenant l'opération binaire (c'est-à-dire , est le « produit » de x et y). Si l'opération binaire est bilinéaire, ce qui signifie que (vecteurs) et (scalaires), ces identités sont vraies :

• ;
• ;
• ,

alors A est une algèbre sur . On dit que A est une -algèbre où est la base de A. L'opérateur binaire est souvent désigné comme la multiplication dans A.

Deux algèbres A et B sur sont isomorphes s'il existe une bijection telle que f(xy) = f(x)f(y) , f(x + ay) = f(x) + af(y) et a .

Généralisation

Dans la définition, peut être un anneau commutatif unitaire, dans ce cas, A et forment un module. On dit que A est une -algèbre et est l'anneau de base de A.

Exemples d'algèbres de dimension finie

Algèbres associatives et commutatives

• L'ensemble des nombres complexes est une - algèbre associative, unifère et commutative de dimension 2.

Une base de l'algèbre est constituée des éléments 1 et i. La table de multiplication est constituée des relations :

,	,
,

• Tout corps fini est une algèbre associative, unifère et commutative de dimension n sur son sous-corps premier ( ), donc son ordre est pⁿ.

Par exemple le corps fini est une algèbre de dimension 2 sur le corps dont la table de multiplication dans une base (1, a) est :

,	,
,

• On peut démontrer que toute algèbre unifère de dimension 2 sur un corps est associative et commutative. Sa table de multiplication dans une base (1, x) est de la forme :

,	,
,	x2 = a1 + bx

Une telle algèbre est appelée algèbre quadratique de type (a, b) (le type dépendant de la base choisie).

Algèbres associatives et non commutatives

• L'ensemble des matrices carrées d'ordre à valeur dans , est une - algèbre associative, unifère et non commutative de dimension n².
• L'ensemble des quaternions est une - algèbre associative, unifère et non commutative de dimension 4.
• L'ensemble des biquaternions est une -algèbre associative, unifère et non commutative de dimension 4 qui est isomorphe à l'algèbre des matrices matrices carrées d'ordre 2 à valeur dans .

Algèbre unifère non associative

• L'ensemble des octonions est une - algèbre unifère non associative et non commutative de dimension 8.

Algèbres non associatives et non unifères

• L'espace euclidien muni du produit vectoriel est une - algèbre non associative, non unifère et non commutative (elle est anti-commutative) de dimension 3.

La table de multiplication dans une base orthonormale directe ( , , ) est :

,	,	,
,	,	,
,	,	,

• L'ensemble des matrices carrées d'ordre à valeur dans , muni du crochet de Lie : [M,N] = MN − NM, est une - algèbre non associative, non unifère et non commutative de dimension n². Elle est anti-commutative et possède des propriétés qui font de l'algèbre une algèbre de Lie.