Algèbre - Définition

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Introduction

L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.

L'étude des structures algébriques peut être faite de manière unifiée dans la cadre de l'algèbre universelle (L'algèbre universelle est la branche de l'algèbre qui a pour but de traiter de...).

L'étude épistémologique de l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche...) a été introduite par Jules Vuillemin.

Histoire

Antiquité

Les anciens Babyloniens et Égyptiens savaient déjà résoudre des problèmes qui peuvent être traduits en équations du premier ou second degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines...).

Par exemple, le Papyrus Rhind (Le papyrus Rhind est un célèbre papyrus de la deuxième période...) (conservé au British Museum de Londres (Londres (en anglais : London - /?l?nd?n/) est la capitale ainsi que la plus grande ville...), il date de -1650, ère chrétienne) comporte l'énoncé suivant :

On doit diviser 100 miches de pain entre dix hommes comprenant un navigateur, un contremaître et un gardien, tous trois recevant double part. Que faut-il donner à chacun ?

Cependant, ils ne faisaient pas de l'algèbre, car ils n'effectuaient pas de calcul sur une inconnue.

Diophante, au IIIe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui...) de l'ère chrétienne, fut le premier à pratiquer l'algèbre en introduisant le concept d'inconnue en tant que nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...), et à ce titre peut être considéré comme "le père" de l'algèbre.

Monde (Le mot monde peut désigner :) arabo-musulman

Page d'Algebra d'al-Khwarizmi

Le mot « algèbre » vient de l'arabe al-jabr (الجبر), qui est devenu algebra en latin et qui signifie « la réunion » (des morceaux), « la reconstruction » ou « la connexion » (en espagnol le mot algebrista désigne celui qui pratique le calcul algébrique (C'est vers le XVIe siècle que l'on voit avec le calcul algébrique, apparaître les...) mais aussi le rebouteux, celui qui sait réduire les fractures osseuses).

C'est un des premiers mots du titre en arabe d'un ouvrage du mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute...) d'origine persane Al-Khawarizmi (Al-Khawarizmi, né vers 783, originaire de Khiva dans la région du Khwarezm qui lui a...) qui reprend, dans la première partie du IXe siècle, les travaux de Diophante d'Alexandrie (Alexandrie (grec :?λεξ?νδρεια, Copte :...) (IIIe siècle). Ce dernier avait imaginé de représenter une inconnue par un symbole nommé arithme. Le titre de cet ouvrage (Al-jabr wa'l-muqabalah) qui s'inscrivait dans l'époque d'essor des sciences et techniques islamiques (Les sciences et techniques islamiques se sont développées au Moyen Âge, dans le...) (la culture (La définition que donne l'UNESCO de la culture est la suivante [1] :) de l'époque voulait que tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) savoir soit traduit en arabe et disséminé dans tout l'Empire), a donné le mot moderne « algèbre ». Une large proportion des méthodes utilisées sont issues de résultats élémentaires de géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...). Pour cette raison, on classe souvent ces premiers résultats dans la branche de l'algèbre géométrique (En mathématiques, l’algèbre géométrique regroupe des méthodes...).

Après un voyage (Un voyage est un déplacement effectué vers un point plus ou moins éloigné dans un but personnel...) dans le nord (Le nord est un point cardinal, opposé au sud.) de l'Afrique (D’une superficie de 30 221 532 km2 en incluant les îles,...), Léonard de Pise dit Fibonacci (Leonardo Fibonacci (Pise, v. 1170 - v. 1250) est un mathématicien italien. Fibonacci (de son nom...) fut séduit par cette nouvelle façon d'écrire les chiffres (différente des chiffres romains) et par le système décimal (Le système décimal est un système de numération utilisant la base dix. Dans ce...). Dès son retour au pays (Pays vient du latin pagus qui désignait une subdivision territoriale et tribale d'étendue...), il est parmi les premiers à populariser les chiffres arabes (Les chiffres arabes sont les dix chiffres (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0) et le système...) et le système décimal en Europe (L’Europe est une région terrestre qui peut être considérée comme un...) et travaille sur sa fameuse suite.

XVIe siècle : Europe

François Viète (François Viète, ou François Viette, en latin Franciscus Vieta, est un...)

Le pape Gerbert d'Aurillac avait ramené d'Espagne vers l'an 1000 le zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr,...), invention indienne que les mathématiciens Al-Khawarizmi et Abu Kamil avaient eux-mêmes fait connaître dans tout l'Empire, et aussi à Cordoue.

Cette numération (La numération désigne le mode de représentation des nombres. Aussi, elle concerne...) de position lance une ère de calcul algébrique, d'abord au moyen des algorithmes nommés ainsi en hommage à Al-Kawarizmi, qui remplacent peu à peu l'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) de l'abaque. Les mathématiciens italiens du XVIe siècle (del Ferro (El Hierro, également connue sous le nom d'île de Fer ou Ferro, est la plus petite et la plus...), Tartaglia et Cardan) résolvent l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) du 3e degré (ou équation cubique). Ferrari ( Automobiles et motos Ferrari, constructeur automobile italien dont le nom provient de son...), élève de Cardan, résout l'équation du 4e degré (ou équation quartique), et la méthode est perfectionnée par Bombelli. À la fin du siècle, le Français Viète découvre que les fonctions symétriques des racines sont liées aux coefficients de l'équation polynomiale.

Jusqu'au XVIIe siècle, l'algèbre peut être globalement caractérisée comme la suite ou le début des équations et comme une extension de l'arithmétique ; elle consiste principalement en l'étude de la résolution des équations algébriques, et la codification progressive des opérations symboliques permettant cette résolution. C'est à François Viète (1540-1603) que l'on doit l'idée de noter les inconnues à l'aide de lettres .

Au XVIIe siècle, les mathématiciens utilisent progressivement des nombres « imaginaires », tels que l'une des racines carrées de -1, pour parvenir à calculer les racines non réelles de leurs équations. Cette « extension » des nombres réels (qui prendra le nom de nombres complexes) amène d'Alembert (en 1746) et Gauss (en 1799) à énoncer et démontrer le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) fondamental de l'algèbre (ou théorème de d'Alembert-Gauss) :

Théorème — Toute équation polynomiale de degré n en nombres complexes a exactement n racines (en comptant chacune avec son éventuelle multiplicité).

Sous sa forme moderne, le théorème s'énonce :

Théorème — Le corps \ _\mathbb C des nombres complexes muni de l'addition et de la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire...) est algébriquement clos.

Le XIXe siècle s'intéresse désormais à la calculabilité (La théorie de la calculabilité (appelée aussi parfois théorie de la...) des racines, et en particulier à la possibilité de les exprimer par des formules générales à base de radicaux. Les échecs concernant les équations de degré 5 amènent le mathématicien Abel (après Vandermonde, Lagrange et Gauss) à approfondir les transformations sur l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des racines d'une équation. Évariste Galois (1811 - 1832), dans un mémoire (D'une manière générale, la mémoire est le stockage de l'information. C'est aussi le souvenir...) fulgurant, introduit pour la première fois la notion de groupe (en étudiant le groupe des permutations des racines d'une équation polynomiale) et aboutit à l'impossibilité de la résolution par radicaux pour les équations de degré supérieur ou égal à 5.

Une étape décisive était franchie avec l'écriture des exposants fractionnaires. Celle-ci permettra à Euler d'énoncer sa célèbre formule eiπ = − 1.

Algèbre moderne

Ernst Kummer

Dès lors, l'algèbre moderne entame un parcours fécond : Boole crée l'algèbre qui porte son nom, Hamilton invente les quaternions, et les mathématiciens anglais Cayley, Hamilton et Sylvester étudient les structures de matrices. L'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse...), longtemps restreinte à la résolution de systèmes d'équations linéaires à 2 ou 3 inconnues, prend son essor avec le théorème de Cayley-Hamilton (En algèbre linéaire, le théorème de Cayley-Hamilton (qui porte les noms des...) (« Toute matrice carrée à coefficients dans \ _\mathbb R ou \ _\mathbb C annule son polynôme caractéristique »). S'ensuivent les transformations par changement de base, la diagonalisation (La diagonalisation est un procédé d'algèbre linéaire. Il s'applique à des endomorphismes d'un...) et la trigonalisation (En algèbre linéaire, trigonaliser une matrice consiste à réduire celle-ci sous...) des matrices, et les méthodes de calcul qui nourriront, au XXe siècle, la programmation (La programmation dans le domaine informatique est l'ensemble des activités qui permettent...) des ordinateurs. Parallèlement, Kummer généralise les structures galoisiennes et étudie les structures de corps et d'anneau. Dedekind définit les idéaux (déjà entrevus par Gauss) qui permettront de généraliser et reformuler les grands théorèmes d'arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la...). L'algèbre linéaire se généralise en algèbre multilinéaire (En mathématiques, l’algèbre multilinéaire étend les méthodes de...) et algèbre tensorielle (L'algèbre tensorielle au sens de théorie des tenseurs est traitée à l'article...).

Au début du XXe siècle, sous l'impulsion de l'allemand Hilbert et du français Poincaré, les mathématiciens s'interrogent sur les fondements des mathématiques : logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος),...) et axiomatisation occupent le devant de la scène. Peano axiomatise l'arithmétique, puis les espaces vectoriels. La structure d'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...) et la structure d'algèbre sont approfondies par Artin en 1925, avec des corps de base autres que \ _\mathbb R ou \ _\mathbb C et des opérateurs toujours plus abstraits. On doit aussi à Artin, considéré comme le père de l'algèbre contemporaine, des résultats fondamentaux sur les corps de nombres algébriques. Les corps non commutatifs amènent à définir la structure de module sur un anneau et la généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de...) des résultats classiques sur les espaces vectoriels.

L'école française « Nicolas Bourbaki (Nicolas Bourbaki est un mathématicien imaginaire, sous le nom duquel un groupe de...) », emmenée par Weil, Cartan et Dieudonné, entreprend de réécrire l'ensemble des connaissances mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) sur une base axiomatique : ce travail gigantesque commence par la théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le...) et l'algèbre dans le milieu du siècle, et confirme l'algèbre comme langage universel des mathématiques. Paradoxalement, alors que le nombre de publications suit une croissance exponentielle (En mathématique, en économie et en biologie, on parle d'un phénomène à croissance...) à travers le monde, alors qu'aucun mathématicien ne peut prétendre dominer qu'une toute petite partie des connaissances, les mathématiques n'ont jamais autant paru unifiées qu'aujourd'hui.

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