Complément à deux - Définition

Explications plus détaillées

D'un point de vue plus technique, cette écriture est simplement la troncature de l'écriture infinie à gauche. Pour la base 10, on sait qu'il est sans effet de compléter un nombre par des zéros à sa gauche, i.e. 123 peut s'écrire 0000123 et même avec une infinité de 0, comme ...0123. Mais il est bien moins connu que si l'on permet de compléter à gauche avec une infinité de 9 on obtient une représentation des nombres négatifs! Par exemple :

        ...99 (infinité de 9 à gauche)      + ...01 (infinité de 0 à gauche)      -------        ...00 (infinité de 0 à gauche)      

On peut alors interpréter ...99 comme étant −1, puisque −1+1=0.

Cette notation est le complément à 10. Pour obtenir la représentation d'un nombre négatif il faut complémenter à 9 chaque chiffre puis ajouter 1 au résultat. Ainsi pour obtenir la représentation de -123 on fait : ...0123 transformé en ...9876 puis en ...9877.

Un exemple plus complet. Essayons de calculer dans une telle représentation 12 + (−7) 12 s'écrit ...012, −7 s'écrit (...07 complémenté en ...92 puis additionné de 1 donne ...93) ...93. Additionnons:

        ...012      + ....93      --------        ....05      

Et chacun sait que 12 + (−7) = 12 − 7 = 5

Une telle écriture mais de taille fixe fonctionne car le chiffre le plus à gauche (le signe 0 pour le + et 9 pour le −) représente alors simplement l'infinité des chiffres à gauche (l'opération consistant à allonger à volonté l'écriture du nombre à gauche s'appelle l'extension du signe et est bien connue des informaticiens).

Le complément à deux est alors la même technique employée avec la base 2.