Courbe stable - Définition

Courbes stables

Soit X une courbe algébrique sur un corps k. On dit que X est semi-stable si après extension des scalaires à la clôture algébrique , la courbe est réduite et n'a que des points doubles ordinaires comme points singuliers éventuels.

On dit que X est stable si de plus elle est projective sur k et si est connexe, de groupe des automorphismes fini. Sur un corps algébriquement clos, une courbe stable est une courbe projective connexe réduite, de genre arithmétique au moins égal à 2, à singularités doubles ordinaires, et telle que toute composante irréductible isomorphisme à la droite projective rencontrent les autres composantes irréductibles en au moins 3 points.

Par exemple une courbe projective lisse sur k est semi-stable. Elle est stable si elle est de plus de genre au moins 2 et géométrique connexe. La réunion de deux courbes elliptiques qui se coupent transversalement un point est une courbe stable qui n'est pas lisse.

Espaces de modules

Soit g un entier au moins égal à 2. Soit k un corps algébriquement clos. On sait qu'il existe une variété algébrique normale M_g sur k dont les points correspondent aux classes d'isomorphisme des courbes projectives lisses connexes de genre g sur k. Cette variété est appelée l'espace de modules grossier des courbes projectives lisses de genre g. Elle est quasi-projective. Deligne et Mumford ont montré qu'il existe une variété projective dont les points correspondent aux classes d'isomorphisme des courbes stables de genre g sur k. C'est l'espace de modules grossier des courbes stables de genre g. Elle contient M_g comme une partie ouverte dense. En fait, la construction donne un schéma projectif sur l'anneau des entiers .

On sait que M_g et donc sont connexes sur le corps des nombres complexes. Par le théorème de connexité de Zariski (qui n'est valable que pour les schémas projectifs), on en déduit qu'en toute caractérique, et donc M_g sont connexes.