Arithmétique - Définition et Explications

Introduction

L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes. On l'appelle plus généralement la « science des nombres ». Son étymologie provient du mot grec « αριθμός » qui signifie « nombre ».

Autrefois, l'arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la...) se limitait à l'étude des propriétés des entiers naturels, des entiers relatifs, et des nombres rationnels (sous forme de fractions), et aux propriétés des opérations sur ces nombres.

Les opérations arithmétiques traditionnelles sont l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la...), la division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par...), la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire...), et la soustraction (La soustraction est l'une des opérations basiques de l'arithmétique. La soustraction...).

Cette discipline fut ensuite élargie par l'inclusion de l'étude d'autres nombres comme les réels (sous forme de développement décimal (En mathématiques, le développement décimal est une façon d'écrire des nombres réels positifs...) illimité), ou même de concepts plus avancés, comme l'exponentiation ou la racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le...).

Histoire

Dans l'école pythagoricienne (Pythagore de Samos), à la deuxième moitié du VIe siècle avant J.-C., l'arithmétique était, avec la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...), l'astronomie (L’astronomie est la science de l’observation des astres, cherchant à expliquer...) et la musique, une des quatre sciences quantitatives ou mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) (Mathemata). Celles-ci furent regroupées au sein des sept arts libéraux par Martianus Capella (Capella (α Aurigae) est l'étoile la plus brillante de la constellation du Cocher, et la...) (Ve siècle), et plus précisément désignées sous le nom de quadrivium par Boèce. Les trois autres disciplines étaient littéraires (grammaire, rhétorique, dialectique) et firent l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) des travaux de Cassiodore et, plus tard, Alcuin qui leur donna le nom de trivium.

Ensembles utilisés en arithmétique

La totalité des nombres ont été regroupés dans des ensembles. Les plus connus sont :

  • \mathbb{N} : l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des entiers naturels (0;\,1;\, 2;\, 3;\, 4;\, 5;\mbox{ etc.}).
  • \mathbb{Z} : l'ensemble des entiers relatifs (-12;\, -2;\, 0 ;\, 5;\, 6;\mbox{ etc.}).
  • \mathbb{D} : l'ensemble des nombres décimaux, c'est-à-dire qui s'écrivent sous la forme d'un quotient d'un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) entier relatif (En mathématiques, un entier relatif se présente comme un entier naturel muni d'un signe...) et d'une puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) positive de 10, c'est-à-dire, \frac {x}{10^n}x est un nombre entier relatif et n un nombre entier naturel (En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif (ou nul) permettant fondamentalement...) \left ( -\frac{1}{2};\, 6,36;\, 0;\, 25;\mbox{ etc.}\right).
  • \mathbb{Q} : l'ensemble des nombres rationnels, c'est-à-dire des nombres pouvant s'écrire comme un quotient (résultat d'une division) de deux nombres entiers relatifs. En posant la division, il peut y avoir une infinité de chiffres après la virgule dans le résultat, mais ces chiffres finiront par se répéter; dans ce cas on dit que l'écriture décimale est illimitée périodique. \left({1\over3};\, -{5\over13};{22\over7}\mbox{ etc.}\right).
  • \mathbb{R} : l'ensemble des nombres réels, mesurant toutes les distances entre deux points d'une droite, peuvent se voir comme limite de nombres rationnels, peuvent s'écrire avec des chiffres après la virgule mais les chiffres ne se répètent plus nécessairement (π, le nombre d'or, \sqrt 2).
  • \mathbb{C} : nombres complexes de la forme x + iy où x et y sont réels et i imaginaire tel que i2 = − 1.

Certains de ces ensembles sont des sous-ensembles des autres ; Tous les éléments de \mathbb{N} appartiennent aussi à \mathbb{Q}, par exemple. Mais à l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de...), un élément de \mathbb{Q} n'est pas forcément élément de \mathbb{N}. On peut représenter ces ensembles par des cercles concentriques: le plus petit est \mathbb{N}, puis viennent \mathbb{Z}, \mathbb{D}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} et \mathbb{C}.

Il est possible de ne considérer qu'une partie d'un ensemble. Ainsi, on notera \mathbb{R^+} l'ensemble des nombres positifs de \mathbb{R}. De même on notera \mathbb{R^*} l'ensemble \mathbb{R} privé de 0. On remarque entre autres que \mathbb{Z^+}\,=\,\mathbb{N} et que \mathbb{Z} \backslash \mathbb{N}\,=\,\mathbb{Z^{-*}} (il s'agit de \mathbb{Z} « privé de » \mathbb{N}.).

Différentes arithmétiques

Arithmétique élémentaire (L’arithmétique élémentaire regroupe les rudiments de la connaissance des...)

L'expression arithmétique élémentaire désigne parfois la forme la plus basique des mathématiques, apprise à l’école élémentaire. Il s’agit essentiellement de l’étude des nombres, et des opérations élémentaires (soustraction, addition, division, multiplication).

Ce terme désigne aussi les rudiments des techniques de l'arithmétique. Les outils utilisés sont la division euclidienne (En mathématiques, et plus précisément en arithmétique, la division euclidienne...), le lemme d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης...), le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de Bachet-Bézout ou encore le théorème fondamental de l'arithmétique. Il permet de démontrer des théorèmes comme celui de Wilson ou encore le petit théorème de Fermat (En mathématiques, le petit théorème de Fermat est un résultat de...).

Cette deuxième acception du terme est traité dans l'article détaillé.

Arithmétique modulaire (En mathématiques et plus précisément en théorie algébrique des nombres,...)

Carl Friedrich Gauss (Johann Carl Friedrich Gauß (traditionnellement transcrit Gauss en français)...) étudie l'ensemble des congruences sur les entiers, c'est-à-dire celui composé des restes de la division euclidienne par un nombre entier donné. Cet ensemble est naturellement muni d'une addition et d'une multiplication.

L'étude de cette structure porte le nom d'arithmétique modulaire. Elle permet de généraliser les résultats de l'arithmétique élémentaire. Le théorème d'Euler, correspondant à un résultat plus fort que celui du petit théorème de Fermat, illustre une généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de...).

L'arithmétique modulaire est utilisé en cryptologie ou pour la construction de codes correcteurs en informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine...).

Théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) algébrique des nombres

De nombreuses questions ne trouvent pas de réponse, même avec les techniques de l'arithmétique modulaire. Des exemples proviennent d'équations diophantiennes, c'est-à-dire d'équations dont les coefficients sont entiers et dont les solutions recherchées sont entières. Une méthode consiste à élargir l'ensemble des entiers à une nouvelle structure qualifiée d'anneau d (L'anneau D est un anneau planétaire situé autour de Saturne, le plus interne des anneaux...)'entiers algébriques, comme ceux des entiers de Gauss, d'Eisenstein ou ceux associés aux nombres de la forme a + b.√5 définissant une arithmétique du nombre d'or.

L'étude de cette structure, plus générale que celle de l'arithmétique modulaire qui se limite aux anneaux euclidiens, constitue le premier chapitre de la théorie algébrique des nombres.

Arithmétique des polynômes (En algèbre, l'arithmétique des polynômes décrit les propriétés des...)

L'étude de l'arithmétique, au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) des nombres entiers, suppose d'établir des théorèmes. Ces théorèmes se démontrent à l'aide de techniques qui ne se limitent pas aux nombres entiers. Il est possible de faire usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) de la même démarche sur d'autres structures, comme par exemple celle des polynômes. A travers l'étude des polynômes cyclotomiques, Gauss parvient à trouver un nouveau polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est...) régulier constructible (On qualifie de constructible une chose qui peut être construite ou qui peut accueillir une...) à la règle et au compas, de 17 côtés.

Sa démarche est de nature arithmétique, pour cette raison, on parle d'arithmétique des polynômes.

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