Lemme de classe monotone - Définition

On note l'ensemble des classes monotones telles que Le lemme affirme implicitement que possède un élément plus petit que (i.e. inclus dans) tous les autres. Un tel élément est nécessairement unique, s'il existe, mais existe-t-il ? La réponse est « oui ». En effet,

• n'est pas vide, car il contient l'ensemble de toutes les parties de
• ainsi l'intersection de tous les éléments de est bien définie et
• par ailleurs, l'intersection de n'importe quelle famille de classes monotones est encore une classe monotone, donc est une classe monotone et par conséquent appartient à
• enfin est par construction inclus dans tout élément de

La classe est donc le plus petit élément de

On note la tribu engendrée par Comme toute tribu est une classe monotone, est une classe monotone contenant donc

Dans la suite de la démonstration, on s'attache à montrer que est une tribu (ce qui entrainera que ) . On utilise la proposition suivante :

En effet toute classe monotone contient et est stable par passage au complémentaire (puisque stable par différence et contenant ). Si de plus est stable par intersection, la version ensembliste des Lois de De Morgan entraîne qu'elle est stable par réunion :

Par une récurrence évidente, la réunion d'une famille finie d'éléments de est encore un élément de Soit alors une famille dénombrable d'éléments de notée Posons

Alors est une suite croissante d'éléments de donc

mais par ailleurs, on peut démontrer, par exemple par double inclusion, que

La proposition est donc démontrée.

Il ne nous reste plus qu'à montrer que est stable par intersection pour en conclure que est une tribu. Pour cela, pour toute partie de on pose :

On montre facilement, d'une part que satisfait les deux dernières propriétés de classe monotone, car

d'autre part que si alors Ainsi est une classe monotone dès que Le raisonnement est alors en 2 étapes :

• si alors la stabilité par intersection de entraine que donc que donc que pour un élément quelconque, on a ou bien, de manière équivalente,
• ainsi, pour un élément quelconque, on a et finalement en d'autre termes

Par application de la Proposition, est donc une tribu. Comme contient on en déduit que