Dimanche 15 Juin 2025
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Lemme de classe monotone - Définition

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- Introduction - Classe monotone et π-système - Applications - Énoncé et démonstration du lemme de classe monotone

Introduction

Triangle de Sierpiński
Carré de Sierpiński

Le lemme de classe monotone, dû à Wacław Sierpiński et popularisé par Dynkin, permet de démontrer, de manière économique, l'égalité entre deux lois de probabilité : de même que deux applications linéaires qui coïncident sur une base coïncident sur l'espace entier, deux mesures de probabilité qui coïncident sur un π-système, coïncident sur la tribu engendrée par ce π-système.

Dans certains ouvrages, le lemme de classe monotone apparaît sous le nom de « Théorème pi-lambda de Dynkin ».

Classe monotone et π-système

Définition — 

  • Une classe \scriptstyle\ \mathcal{C}\ de parties d'un ensemble Ω est appelé π-système si cette classe est stable par intersection finie :
\{A\in \mathcal{C}\text{ et }B\in \mathcal{C}\}\Rightarrow\{A\cap B\in \mathcal{C}\}.
  • Une classe \scriptstyle\ \mathcal{M}\ de parties d'un ensemble Ω est appelé λ-système ou classe monotone si cette classe contient Ω et est stable par différence, et par réunion croissante :
\begin{align} \{A\in \mathcal{M}\text{ et }B\in \mathcal{M}\text{ et }A\subset B\}\quad&\Rightarrow\quad\{B\backslash A\in \mathcal{M}\}, \\ \{\forall n\ge 0,\quad \{A_{n}\in \mathcal M\text{ et } A_{n}\subset A_{n+1}\}\}\quad&\Rightarrow\quad\left\{\bigcup_{n\ge 0} A_{n}\ \in \mathcal M\right\}.\end{align}
Exemples de π-systèmes  :
  • une classe d'intervalles : \scriptstyle\ \mathcal{C}_1=\{]-\infty,\,x]\ |\ x\in\R\}.
  • la classe des singletons : \scriptstyle\ \mathcal{C}_2=\{\{x\}\ |\ x\in \Omega\}\ \cup\ \{\emptyset\}.
  • la classe des pavés : \scriptstyle\ \mathcal{C}_3=\{A\times B\ |\ A,B\in \mathcal{P}(\Omega)\}.
Un exemple de classe monotone  :

Soit deux mesures de probabilité \scriptstyle\ \mathbb{P}\ et \scriptstyle\ \mathbb{Q}\ définies sur \scriptstyle\ (\Omega,\mathcal{B}).\ La classe \scriptstyle\ \mathcal{M}=\{A\in\mathcal{B}\ |\ \mathbb{P}(A)=\mathbb{Q}(A)\}\ est une classe monotone.

Applications

Lemme d'unicité des mesures de probabilité

Le lemme de classe monotone a une conséquence immédiate

Lemme d'unicité des mesures de probabilité —  Deux mesures de probabilité \scriptstyle\ \mathbb{P}\ et \scriptstyle\ \mathbb{Q}\ définies sur l'espace probabilisable \scriptstyle\ (\Omega,\mathcal{A}),\ et coincidant sur le π-système \scriptstyle\ \mathcal{C}\subset \mathcal{A},\ concident aussi sur la tribu engendrée par \scriptstyle\ \mathcal{C}\  :

\{\forall A\in \mathcal{C},\quad \mathbb{P}(A)=\mathbb{Q}(A)\}\quad\Rightarrow\quad\{\forall A\in \sigma(\mathcal{C}),\quad \mathbb{P}(A)=\mathbb{Q}(A)\}.

On pose

\mathcal{M}=\{A\in \mathcal{A}\,|\, \mathbb{P}(A)=\mathbb{Q}(A)\}.

On vérifie facilement que \scriptstyle\ \mathcal{M}\ est une classe monotone. Comme \scriptstyle\ \mathcal{M}\ est une classe monotone contenant \scriptstyle\ \mathcal{C},\ \scriptstyle\ \mathcal{M}\ contient la plus petite classe monotone contenant \scriptstyle\ \mathcal{C},\ à savoir \scriptstyle\ \sigma(\mathcal{C}).\

Parmi de nombreuses applications importantes du lemme d'unicité, citons celle qui est peut-être la plus importante :

Corollaire — Il suit que :

  • deux mesures de probabilité \scriptstyle\ \mathbb{P}\ et \scriptstyle\ \mathbb{Q}\ définies sur \scriptstyle\ (\R,\mathcal{B}(\R))\ sont égales si elles ont même fonction de répartition ;
  • deux variables aléatoires réelles \scriptstyle\ X\ et \scriptstyle\ Y\ ont même loi si elles ont même fonction de répartition.

On pose

\mathcal{C}=\{]-\infty,\,x]\,|\, x\in\R\}.

La classe \scriptstyle\ \mathcal{C}\ est un π-système, et \scriptstyle\ \sigma(\mathcal{C})=\mathcal{B}(\R).\ Comme les deux mesures de probabilité \scriptstyle\ \mathbb{P}\ et \scriptstyle\ \mathbb{Q}\ ont même fonction de répartition, i.e.

\forall x\in\R,\qquad \mathbb{P}(]-\infty,\,x])=\mathbb{Q}(]-\infty,\,x]),

\scriptstyle\ \mathbb{P}\ et \scriptstyle\ \mathbb{Q}\ coïncident sur \scriptstyle\ \mathcal{C},\ donc sur \scriptstyle\ \sigma(\mathcal{C})=\mathcal{B}(\R).\ Par définition, deux variables aléatoires réelles, \scriptstyle\ X\ et \scriptstyle\ Y,\ ont même fonction de répartition si leurs lois de probabilité, \scriptstyle\ \mathbb{P}_X\ et \scriptstyle\ \mathbb{P}_Y,\ ont même fonction de répartition :

\forall A\in\mathcal{B}(\R),\quad \mathbb{P}_X(A)=\mathbb{P}(X\in A),\qquad\text{et }\forall x\in\R,\quad \mathbb{P}_X(]-\infty,\,x])=\mathbb{P}(X\le x).

Ainsi, si \scriptstyle\ X\ et \scriptstyle\ Y,\ ont même fonction de répartition, \scriptstyle\ \mathbb{P}_X\ et \scriptstyle\ \mathbb{P}_Y\ coïncident sur \scriptstyle\ \mathcal{C},\ donc \scriptstyle\ \mathbb{P}_X=\mathbb{P}_Y.\

Expliquons brièvement pourquoi \scriptstyle\ \sigma(\mathcal{C})=\mathcal{B}(\R)\  :

  • \scriptstyle\ \mathcal{B}(\R)\ est par définition la tribu engendrée par les ouverts de \scriptstyle\ \R,\
  • un ouvert \scriptstyle\ \mathcal{O}\ de \scriptstyle\ \R\ est réunion dénombrable d'intervalles ouverts, car, par densité de \scriptstyle\ \Q\ dans \scriptstyle\ \R,\ on a
\mathcal{O}=\bigcup_{(a,b)\in E}]a,b[,\qquad\text{avec}\qquad E=\{(a,b)\in\Q^2\,|\,a<b,\ ]a,b[\subset\mathcal{O}\},
  • et les intervalles ouverts appartiennent à \scriptstyle\ \sigma(\mathcal{C})\ (donc les ouverts appartiennent à \scriptstyle\ \sigma(\mathcal{C}),\ donc \scriptstyle\ \sigma(\mathcal{C})\ contient \scriptstyle\ \mathcal{B}(\R)\ ), car
]a,b[=]-\infty,a]^c\,\cap\,\left(\bigcup_{n\ge 1}]-\infty,b-\tfrac1n]\right).

Pour l'inclusion en sens inverse ( \scriptstyle\ \mathcal{B}(\R)\ contient \scriptstyle\ \sigma(\mathcal{C})\ ), notons que \scriptstyle\ \mathcal{B}(\R)\ est la tribu engendrée par tous les fermés de \scriptstyle\ \R,\ alors que \scriptstyle\ \sigma(\mathcal{C})\ est engendrée par certains fermés de \scriptstyle\ \R\ seulement.

Critères d'indépendance

Par exemple,

Critères — Soit X et Y deux variables aléatoires réelles définies sur un espace probabilisé \scriptstyle\ (\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P}).\

  • Si, pour tout couple (x,y) de nombres réels,
\mathbb{P}\left(X\le x\text{ et }Y\le y\right)\ =\ \mathbb{P}\left(X\le x\right)\times\mathbb{P}\left(Y\le y\right),
alors X et Y sont indépendantes.
  • Si Y est à valeurs dans \scriptstyle\ \mathbb{N},\ et si, pour tout couple \scriptstyle\ (x,n)\in\mathbb{R}\times\mathbb{N},\
\mathbb{P}\left(X\le x\text{ et }Y=n\right)\ =\ \mathbb{P}\left(X\le x\right)\times\mathbb{P}\left(Y=n\right),
alors X et Y sont indépendantes.
  • Bien sûr, si X et Y sont à valeurs dans \scriptstyle\ \mathbb{N},\ et si, pour tout couple \scriptstyle\ (m,n)\in\mathbb{N}^2,\
\mathbb{P}\left(X=m\text{ et }Y=n\right)\ =\ \mathbb{P}\left(X=m\right)\times\mathbb{P}\left(Y=n\right),
alors X et Y sont indépendantes.

La démonstration du dernier critère ne nécessite pas le lemme de classe monotone, mais ce lemme est très utile pour la démonstration des deux premiers critères. On peut utiliser le deuxième critère pour démontrer, par exemple, que dans la méthode de rejet, le nombre d'itérations est indépendant de l'objet aléatoire (souvent un nombre aléatoire) engendré au terme de ces itérations. Pour la démonstration de ces critères, ainsi que pour la démonstration du lemme de regroupement, on a besoin de la définition et de la proposition suivantes.

Définition — Dans un espace probabilisé \scriptstyle\ (\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P}),\ une famille finie de classes incluses dans \scriptstyle\ \mathcal{A}\ est une famille indépendante si et seulement si

\forall (C_i)_{i\in I}\in\prod_{i\in I}\mathcal{C}_i,\qquad \mathbb{P}\left(\bigcap_{i\in I}C_i\right)=\ \prod_{i\in I}\ \mathbb{P}(C_i).

Proposition — Si, dans un espace probabilisé \scriptstyle\ (\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P}),\ une famille finie de π-systèmes inclus dans \scriptstyle\ \mathcal{A}\ est une famille indépendante, alors la famille \scriptstyle\ \left(\sigma(\mathcal{C}_{i})\right)_{i\in I}\ est une famille de tribus indépendantes.

On pose

On vérifie facilement que \scriptstyle\ \mathcal{A}_j\ est une classe monotone. Comme \scriptstyle\ \mathcal{A}_j\ est une classe monotone contenant \scriptstyle\ \mathcal{C}_j,\ \scriptstyle\ \mathcal{A}_j\ contient la plus petite classe monotone contenant \scriptstyle\ \mathcal{C}_j,\ à savoir \scriptstyle\ \mathcal{C}^{\prime}_j=\sigma(\mathcal{C}_j).\ La nouvelle famille de π-systèmes obtenue en remplaçant \scriptstyle\ \mathcal{C}_j\ par \scriptstyle\ \mathcal{C}^{\prime}_j\ dans la famille est donc encore une famille de π-systèmes indépendants. On peut par le même raisonnement remplacer successivement chaque \scriptstyle\ \mathcal{C}_i\ par \scriptstyle\ \mathcal{C}^{\prime}_i=\sigma(\mathcal{C}_i),\ dans la famille \scriptstyle\ (\mathcal{C}_{i})_{i\in I},\ sans que cette famille perde sa propriété d'indépendance. Notons qu'une tribu, et en particulier chaque \scriptstyle\ \mathcal{C}^{\prime}_i,\ est aussi, nécessairement, un π-système.

Applications  :
  • Posons \scriptstyle\ \mathcal{C}_1=\{X^{-1}(]-\infty,\,x])\ |\ x\in\R\} et \scriptstyle\ \mathcal{C}_2=\{Y^{-1}(]-\infty,\,y])\ |\ y\in\R\}. Alors, sous les hypothèses du premier critère, \scriptstyle\ \mathcal{C}_1 et \scriptstyle\ \mathcal{C}_2 sont des π-systèmes indépendants. En vertu de la proposition, \scriptstyle\ \sigma(\mathcal{C}_1) et \scriptstyle\ \sigma(\mathcal{C}_2) sont alors des tribus indépendantes. Mais \scriptstyle\ \sigma(\mathcal{C}_1)=\sigma(X) et \scriptstyle\ \sigma(\mathcal{C}_2)=\sigma(Y), ce qui assure bien l'indépendance du couple (X,Y).
  • Posons \scriptstyle\ \mathcal{C}_3=\{X^{-1}(m)\ |\ m\in\N\}\cup\{\emptyset\} et \scriptstyle\ \mathcal{C}_4=\{Y^{-1}(n)\ |\ n\in\N\}\cup\{\emptyset\}. Sous les hypothèses du deuxième critère, \scriptstyle\ \mathcal{C}_1 et \scriptstyle\ \mathcal{C}_4 sont des π-systèmes indépendants. Par ailleurs, \scriptstyle\ \sigma(\mathcal{C}_1)=\sigma(X) et \scriptstyle\ \sigma(\mathcal{C}_4)=\sigma(Y), et on conclut comme précédemment. Pour démontrer le troisième critère, on utilise cette fois \scriptstyle\ \mathcal{C}_3 et \scriptstyle\ \mathcal{C}_4.
Énoncé et démonstration du lemme de classe monotone
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