Famille (mathématiques)
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En mathématiques, la notion de famille est une généralisation de celle de suite, suite finie ou suite indexée par les entiers. Ainsi on pourra parler, en algèbre linéaire, de la famille de vecteurs (u1, u2, … , un), qui est une famille finie (En mathématiques, la notion de famille est une généralisation de celle de suite, suite finie ou suite indexée par les entiers. Ainsi on pourra parler, en algèbre linéaire, de la famille de vecteurs (u1, u2,...), ou de la famille dénombrable (un)nN. Une famille, est toujours indexée, même si elle l'est parfois implicitement comme dans des locutions comme " famille libre ".

Famille indexée : définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.)

Une famille (x_i)_{i\in I} indexée par un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude...) I d'éléments xi d'un ensemble E est une application définie sur I à valeurs dans E. Il s'agit donc d'une terminologie et d'une notation, mieux adaptées à certains usages, pour la notion connue d'application (mathématiques) (ou de fonction). Les éléments de I sont appelés indice (ou index). L'élément de la famille (x_i)_{i\in I} d'indice i est xi.

Quand on parle d’élément d'une famille, il s'agit d'un élément de l'ensemble image de la famille en tant qu'application : un élément de la famille (x_i)_{i\in I} est l'un des xi.

Quand on parle de la cardinalité (En linguistique, les nombres entiers naturels zéro, un, deux, trois, etc. s'appellent des adjectifs numéraux cardinaux. En mathématiques, un nombre...) d'une famille, il s'agit a priori de la cardinalité de l'ensemble de ses indices (ou de façon équivalente de la cardinalité du graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) de la famille en tant qu'application). Ceci dit on peut toujours préciser : famille sur un ensemble d'indices de cardinalité telle. Ainsi une famille finie est une famille dont l'ensemble des indices (et non des éléments) est fini, une famille infinie est une famille dont l'ensemble des indices est infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.), une famille dénombrable est une famille dont l'ensemble des indices est dénombrable etc.

On appelle également suite une famille dont l'ensemble des indices est l'ensemble des entiers ou un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi élément du sur-ensemble B....) de celui-ci, fini ou infini (les n premiers entiers, les entiers non nuls ...). Mais ce n'est pas exclusif : par exemple, en algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les...), on parle volontiers de famille de vecteurs, même dans ce cas.

Plus généralement, on pourra parler, en théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle.), de suite pour une famille dont l'ensemble des indices est un ordinal, ou même un ensemble " explicitement " bien ordonné.

Théorie axiomatique des ensembles (Il existe plusieurs versions formelles de la théorie des ensembles, mais quand on parle de « la » théorie axiomatique des ensembles, on désigne...)

En théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une...) axiomatique des ensembles une application est le plus souvent identifiée à son graphe : c'est un ensemble de couples. Une application définie sur I est un ensemble de couples tels que chaque élément de I apparait une et une seule fois en première composante d'un couple de cet ensemble. C'est donc aussi la définition de famille d'ensembles indexée par I. On se préoccupe peu de l'ensemble d'arrivée dans ce cas. On montre cependant que si {Ai}iI est une famille d'ensembles, alors on peut bien parler de l’ensemble des Ai :

{Ai | iI}  " est " un ensemble.

Cela peut se démontrer en utilisant essentiellement le fait qu'une application est un ensemble de couples et le schéma d'axiomes de compréhension (il faut revenir à la définition de couple en théorie des ensembles, et utiliser l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une...) de la réunion).

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