Matrice normale - Définition

Introduction

En algèbre linéaire, une matrice carrée A à coefficients complexes est une matrice normale si elle commute avec sa matrice adjointe A*, c'est-à-dire si A.A* = A*.A. Toutes les matrices hermitiennes, antihermitiennes (en) ou unitaires sont normales, en particulier, parmi les matrices à coefficients réels, toutes les matrices symétriques, antisymétriques ou orthogonales.

Théorème

Une matrice A est normale si et seulement s'il existe une matrice unitaire U telle que U^-1 A U soit diagonale.

Ce théorème est connu sous le nom de théorème spectral, et les éléments diagonaux de U^-1 A U sont alors les valeurs propres de A.

Par conséquent, les valeurs singulières (en) d'une matrice normale sont les modules de ses valeurs propres.