Matrice transposée - Définition

Introduction

La matrice transposée (on dit aussi la transposée) d'une matrice est la matrice notée (aussi parfois notée ou ), obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A.

Si B = ^tA alors .

Exemple : si alors

Propriétés

• L'application "transposition" est linéaire :

• La transposée de est . Autrement dit, l'application "transposition" est une involution. Elle est par conséquent (non seulement linéaire, mais aussi) bijective. C'est donc un isomorphisme.
• La transposée du produit de deux matrices est égale au produit des transposées de ces deux matrices, mais dans l'ordre inverse :

• Si une matrice est inversible (donc carrée) alors la transposée de son inverse est égale à l'inverse de sa transposée :

• Si désigne une matrice carrée de dimension n et B sa transposée, alors A et B ont même diagonale principale (et par conséquent également la même trace):
• En particulier, toute matrice diagonale est symétrique, c'est-à-dire égale à sa transposée.

Interprétation : dualité

Dans le cadre des espaces euclidiens, si A représente une application linéaire f:E→F par rapport à deux bases orthonormales B_E, B_F alors sa transposée ^tA représente la matrice, dans les bases B_F, B_E , de son opérateur adjoint f*:F→E, caractérisé par :

Plus généralement, si A représente une application linéaire par rapport à deux bases, alors sa transposée ^tA représente la matrice de la transposée de l'application par rapport aux bases duales (voir espace dual).