Opérateur adjoint - Définition et Explications

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Introduction

En mathématiques l'adjoint d'un opérateur, quand il existe, est un nouvel opérateur défini sur un espace vectoriel sur le corps des nombres réels ou complexes, muni d'un produit scalaire. Un tel espace est qualifié de préhilbertien.

Si l'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) initial est continu et si l'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires.) est complet l'adjoint est toujours défini. Cette configuration se produit toujours en dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur,...) finie. L'application qui, à un opérateur associe son adjoint, est semilinéaire continue bijective. Cette fonction est même une isométrie (En géométrie, une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isométrie est donc un cas particulier de similitude.) involutive. L'espace des opérateurs se décompose en deux sous-espaces vectoriels supplémentaires orthogonaux. Ce sont des espaces propres de l'application associés aux valeurs propres 1 et -1.

Certains opérateurs disposent d'une compatibilité vis-à-vis du produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois s'appliquant aux vecteurs. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un...). Tel est le cas si un opérateur commute avec son adjoint. Il est alors dit normal. Trois cas sont importants, les autoadjoints (resp. antisymétriques) correspondant à un opérateur adjoint (En mathématiques l'adjoint d'un opérateur, quand il existe, est un nouvel opérateur défini sur un espace vectoriel sur le corps des nombres réels ou complexes, muni d'un produit scalaire. Un tel espace est...) de lui-même (resp. dont l'adjoint est son opposé) et orthogonaux dont l'adjoint est l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si 1...). Sur un espace vectoriel complexe, le terme utilisé est unitaire et non plus orthogonal.

La notion d'adjoint d'un opérateur possède de nombreuses applications. En dimension finie et sur le corps des nombres complexes, la structure des endomorphismes normaux est simple, ils sont diagonalisables dans une base orthonormale (Soit En un espace vectoriel euclidien de dimension n, où n est un entier naturel non nul, et , une base de En.). Le cas de la dimension infinie est plus complexe. Il est important en analyse fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent...). Le cas autoadjoint est particulièrement étudié, il fournit le cadre le plus simple de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée...) spectrale. En algèbre générale (L'algèbre abstraite, ou algèbre générale, ou encore algèbre universelle est la branche des mathématiques qui porte principalement sur l'étude des structures algébriques...), une algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.) stellaire (Stellaria est un genre de plantes herbacées annuelles ou vivaces, les stellaires, de la famille des Caryophyllaceae. Il comprend près de 90 espèces réparties à travers le monde.) correspond à une structure abstraite d'espace vectoriel munis d'une loi de composition interne (L’algèbre est la branche des mathématiques qui s’intéresse aux ensembles et aux relations qui peuvent y être établies. Elle recherche les conséquences générales qui découlent des...) analogue à la composition des opérateurs et d'une opération étoile ayant les mêmes propriétés que l'application qui, à un opérateur associe son adjoint.

Définitions

L'adjoint d'un opérateur est une notion correspondant à des situations fort différentes. Elle peut être appliquée dans le cas d'un espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de généraliser de façon naturelle la...) ou hermitien (Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien Charles Hermite.), c'est-à-dire en dimension finie. Elle est aussi utilisée dans le contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les mots qui...) le plus simple de l'analyse fonctionnelle, c'est-à-dire dans un espace de Hilbert (Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme découle d'un produit scalaire ou hermitien par la formule . C'est la généralisation en dimension quelconque d'un...) ou un préhilbertien. Elle peut enfin s'appliquer dans un cadre très général sur des espaces de Banach. Pour cette raison deux définitions se côtoient.

Préhilbertien

Cette définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) couvre dans la pratique deux cadres théoriques un peu différents. Celui de la dimension finie et celui où aucune hypothèse n'est faite sur la dimension. Il correspond aussi à un premier cas d'analyse fonctionnelle, le plus simple. En général l'espace vectoriel choisi est un Hilbert, c'est-à-dire que la topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).) associée à la distance est complète. Comme il est relativement facile de compléter un préhilbertien et que les théorèmes dont on disposent sont beaucoup plus nombreux, ce cadre est largement utilisé. Une unique définition permet de couvrir ces deux cas :

Soit H un espace préhilbertien (En mathématiques, un espace préhilbertien est défini comme un espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire. Cette notion généralise celles d'espace euclidien...) sur un corps \mathbb K égal à celui des réels \mathbb R ou des complexes \mathbb C. Le produit scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la base.) est noté (.,.) dans cet article. Soit a et a* deux opérateurs de E.

  • Définition : L'opérateur a* est dit adjoint de a si et seulement si la propriété suivante est vérifiée :
\forall x, y \in H \quad \langle a(x),y\rangle = \langle x,a^*(y)\rangle

Il est d'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) de noter avec le signe * l'adjoint d'un opérateur. Le terme d'opérateur est en général celui utilisé pour désigner une application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l’addition des vecteurs et la multiplication scalaire...).

Algèbre stellaire

Comme la suite de l'article le montre l'application *, qui à un endomorphisme associe son adjoint est une application semilinéaire de l'espace des endomorphismes. Cet espace dispose, avec la composition des endomorphismes d'une structure d'algèbre. Une application *, disposant des mêmes caractéristiques que l'application adjointe et définie sur une algèbre est le cadre d'une structure appelée algèbre stellaire. L'image d'un élément a par l'application * est appelé adjoint de a.

Banach

En analyse fonctionnelle, tous les espaces ne disposent pas d'un produit scalaire. L'approche par les adjoints reste néanmoins fructueuse. L' opérateur a dispose de propriétés plus pauvres que celles du paragraphe précédent.

Dans le cas général, il n'est plus borné, c'est-à-dire qu'il n'existe pas nécessairement de majorant de la norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une règle à suivre. Ce terme...) de l'image d'un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer...) de la boule unité (En topologie, une boule est un sous-ensemble particulier d'un espace métrique. Le nom évoque, à juste titre, un objet familier dans et plus généralement dans muni de la distance euclidienne usuelle....). Ainsi la dérivée d'une fonction de la variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un...) réelle dans l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) réelle à support compact, infiniment différentiable et majorée en valeur absolue (Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.) par un n'est pas majorée par une constante indépendante de la fonction. Cet espace muni de la norme de la convergence uniforme (La convergence uniforme d'une suite de fonctions est une forme de convergence plus exigeante que la convergence simple. Cette dernière demande en effet seulement que, pour...) est important pour la définition des distributions. La dérivée est un opérateur linéaire non borné qui joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les mâchoires. On appelle aussi joue le muscle qui sert principalement à ouvrir et...) un grand rôle en analyse fonctionnelle.

Un opérateur a n'est pas nécessairement défini sur tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) le Banach. Ainsi la fonction dérivée n'est pas définie sur toute fonction de ]-1/2, 1/2[ dans R et intégrable en valeur absolue (L'absolue est un extrait obtenu à partir d’une concrète ou d’un résinoïde par extraction à l’éthanol à température ambiante ou...). Pour la même raison que celle du paragraphe précédent, il est néanmoins utile de considérer cet opérateur.

Dans ce paragraphe, E et F désigne deux Banach, a un opérateur non borné de E dans F, E* et F* désignent les duaux topologiques de E et F. Dans la suite de l'article le terme dual signifie dual topologique. Il est en effet plus utilisé que le dual algébrique dans ce contexte. Le terme D(a) désigne le domaine de a, c'est-à-dire le sous-espace vectoriel sur lequel a est défini. Il est supposé dense dans E. La notation <.,.>E (resp. <.,.>F) désigne le crochet de dualité, il correspond à l'application bilinéaire (Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps . Soit une application, on dit que est bilinéaire si et seulement si elle est linéaire en...) de E*xE (resp. F*xF) qui à un couple formé d'une forme linéaire (En algèbre linéaire, les formes linéaires désignent un type particulier d'applications linéaires. L'étude spécifique qu'on leur accorde est motivée par le fait qu'elles jouent un rôle primordial en mathématiques, et en analyse,...) et d'un vecteur de E (resp. F) associe un scalaire.

  • Définition : Le domaine noté D(a*) de l'opérateur adjoint de a est le sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi élément du sur-ensemble B. Il peut par contre y avoir des...) de F* suivant :
\mathcal{D}(a^*) = \{y^* \in F^*,\; \exists c \ge 0,\; \forall x \in \mathcal{D}(a) \quad |\langle y^*,a(x)\rangle_{F} |\le c\|x\|\}

Cette définition permet la suivante :

  • Définition : l'opérateur adjoint a* de a est l'opérateur de D(a*) dans E* vérifiant l'égalité :
\forall x \in \mathcal{D}(a),\; \forall y^* \in \mathcal{D}(a^*) \quad \langle y^*, a(x)\rangle_{F} =\langle a^*(y^*),x\rangle_{E}

Il est fréquent que E et F soit confondu, l'adjoint est alors un opérateur de E*.

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