Application linéaire - Définition et Explications

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

Introduction

En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l’addition des vecteurs et la multiplication scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les...) définie dans ces espaces vectoriels, ou, en d’autre termes, qui « préserve les combinaisons linéaires ».

Définitions

Soit ƒ une application de E dans FE et F sont deux espaces vectoriels sur un corps K.

L'application ƒ est une application linéaire (ou morphisme de K-espaces vectoriels) si et seulement si :

  • \forall x\in E,\forall y\in E,f(x+y)=f(x)+f(y),
  • \forall\lambda\in K,\forall x\in E,f(\lambda x)=\lambda f(x).

Une application ƒ possédant la première propriété est dite additive, et, pour la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui...), homogène. Elle possède ces deux propriétés à la fois si et seulement si :

  • \forall(x,y)\in E^2,\forall(\lambda,\mu)\in K^2,f(\lambda x+\mu y)=\lambda f(x)+\mu f(y),

ou plus simplement, si et seulement si :

  • \forall(x,y)\in E^2,\forall\mu\in K,f(x+\mu y)=f(x)+\mu f(y).
Un isomorphisme est un morphisme bijectif.
Un endomorphisme est un morphisme ayant même espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...) de départ et d'arrivée.
Un automorphisme est un endomorphisme bijectif.
Si l'espace vectoriel d'arrivée est le corps K on parle de forme linéaire.

On note

  • LK(E,F) l’espace vectoriel des applications linéaires de E dans F ;
  • IsomK(E,F) l’ensemble des isomorphismes de E dans F;
  • LK(E) l’espace vectoriel des endomorphismes de E ;
  • GLK(E) (appelé aussi le groupe linéaire) le groupe des automorphismes de E.

(Le corps K en indice est parfois omis et implicite.)

Exemples

  • l'endomorphisme appelé homothétie (Une homothétie est une transformation géométrique, c'est-à-dire une règle qui associe à...) vectorielle de rapport a : f : x \mapsto a\cdot xa est un scalaire ;
  • l’application dérivation, de l'espace des applications dérivables de R dans R vers l'espace de toutes les applications de R dans R :
    d : \mathcal D(\R,\R)\to\mathcal F(\R,\R),\qquad h\quad\mapsto\quad h'

Noyau et Image

Si ƒ est une application linéaire de E dans F, le noyau de ƒ, noté Ker(ƒ), et l’image de ƒ, notée Im(ƒ), sont définis par

\operatorname{Ker}(f)=\{\,x\in E/f(x)=0\,\}=f^{-1}(\{0\})
\operatorname{Im}(f)=\{\,f(x)/x\in E\,\}=f(E)

Ker provient de Kern, traduction de « noyau » en allemand. Im provient de image. L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) Ker(ƒ) est un sous-espace vectoriel (En algèbre linéaire, étant donné un espace vectoriel E sur un corps K, un...) de E et l'ensemble Im(ƒ) est un sous-espace vectoriel de F. Plus généralement,

  • L'image réciproque (L'image réciproque d'une partie B d'un ensemble Y par une application est le sous-ensemble de X...) d'un sous-espace vectoriel de F par f est un sous-espace vectoriel de E ;
  • Et l'image directe (L'image directe d'un sous-ensemble A de X par une application est le sous-ensemble de Y formé des...) d'un sous-espace vectoriel de E par f est un sous-espace vectoriel de F.

Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de factorisation affirme que f induit (L'induit est un organe généralement électromagnétique utilisé en électrotechnique chargé de...) un isomorphisme de l'espace vectoriel quotient E/kerf sur l'image im f. Deux espaces isomorphes ayant même dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...), il suit la relation suivante, valable pour un espace E de dimension finie, appelée théorème du rang :

   \dim(\operatorname{Ker}( f ))  + \dim(\operatorname{Im}( f ))  = \dim( E ) \,.

Le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) dim( Im(ƒ) ) est aussi appelé rang de ƒ et est noté rg(ƒ).

Propriétés

  • L'ensemble L(E,F) des applications linéaires de E dans F est un espace vectoriel.
  • La composée de deux applications linéaires est linéaire. Plus précisément :
\forall f\in L(E,F),\ \forall g\in L(F,G),\quad g\circ f\in L(E,G).
  • Une application linéaire ƒ de L(E, F) est entièrement déterminée par l'image par ƒ d'une base de E.
  • Si E et F sont des espaces vectoriels de dimension finie alors la dimension de L(E,F) est finie aussi, et égale au produit de la dimension de E par la dimension de F.
  • Le calcul de l'image d'un vecteur par une application linéaire à l'aide de l'utilisation d'une base utilise le concept de matrice.
Page générée en 0.017 seconde(s) - site hébergé chez Contabo
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique