Ordre (théorie des groupes) - Définition

Ordre d'un produit

Si a est d'ordre infini, alors toutes les puissances de a sont aussi d'ordre infini. Si a est d'ordre fini, nous avons la formule suivante pour l'ordre des puissances de a :

ord ( a^k ) = ord ( a ) / pgcd ( ord ( a ), k )

pour chaque entier k. En particulier, les entiers k tels que a^k = e sont les multiples de l'ordre de a (ce qui caractérise l'ordre de a), et l'inverse de a est de même ordre que a.

Il n'y a pas de formule générale reliant l'ordre d'un produit ab aux ordres de a et b. En fait, il est possible que a et b soient tous deux d'ordre finis tandis que ab est d'ordre infini, ou que a et b soit tous deux d'ordre infini tandis que ab est d'ordre fini.

Si ab = ba, on peut au moins affirmer que ord(ab) divise ppcm (ord(a), ord(b)). On peut en déduire que parmi les ordres des éléments d'un groupe abélien, s'il existe un plus grand ordre (en particulier si le groupe est fini), il est divisible par les autres.