Variété algébrique - Définition

Bibliographie

A. Grothendieck, J. Dieudonné: Éléments de géométrie algébrique, édition 1971, Chapitre I, appendice.

Points à valeurs dans une extension

Soit X une variété algébrique sur un corps k. On fixe une clôture algébrique de k. D'une certaine manière, les points de X peuvent être vus comme des (classes de conjugaison sous l'action du groupe de Galois absolu Γ_k de k) points de X à coordonnées dans .

En effet, localement X est une variété affine égale à . L'ensemble algébrique

possède une application canonique qui à associe l'idéal maximal

Cette application est surjective, de sorte que tout point de X peut être vu comme un point (non unique) de . Le groupe de Galois Γ_k opère sur composante par composante, et les points de X s'identifient alors aux orbites de cette action.

Si K est une sous-extension de , un point avec les est appelé un K-point de X ou un point de X à valeurs dans K (noter cependant que ce n'est pas vraiment un point de X). L'ensemble de ces points est noté X(K). Lorsque K = k, on retrouve la notion de points rationnels.

Si K / k est galoisienne de groupe de Galois G, alors G opère sur X(K) coordonnée par coordonnée. L'ensemble des orbites s'identifie à l'ensemble des points x de X de corps résiduel .