Variété algébrique - Définition

Points rationnels

Le théorème des zéros de Hilbert décrit une bijection entre les points de l'espace affine et kⁿ lorsque k est algébriquement. Sur un corps quelconque (surtout pour des raisons arithmétiques), il y a lieu d'étudier les points qui restent dans cette correspondance, ce sont les points rationnels.

Soit X une variété algébrique sur un corps k. Un point x de X est appelé un point rationnel (sur k) si le corps résiduel O_X,x / m_x en x, qui contient toujours k, est égal à k. L'ensemble des points rationnels de X est noté X(k). Un point d'une sous-variété est rationnel si et seulement s'il est rationnel vu comme point dans la variété ambiante.

Si est un morphisme, alors f envoie les points rationnels de X en des points rationnels de Y. Mais en général, au-dessus d'un point rationnel de Y, il n'existe pas nécessairement de point rationnel de X (considérer Y = Spmk et X = SpmK, où K est une extension finie non-triviale de k).

Un point d'une variété algébrique affine associée à est rationnel si et seulement si l'idéal maximal de A correspondant est engendré par les classes de pour un point de kⁿ (qui sera nécessairement un zéro commun des éléments de I). En particulier les points rationnels de l'espace affine correspondent bijectivement à kⁿ. Cela relie les solutions d'un système d'équations polynomiales à l'ensemble des points rationnels d'une variété algébrique affine.

Si est un point de l'espace projectif ordinaire , l'idéal homogène de engendré par les a_iT_j − a_jT_i, , est un idéal premier homogène appartenant à Proj . On montre que cette association établit une bijection entre et l'ensemble des points rationnels de l'espace projectif Pⁿ. On obtient alors une correspondance biunivoque entre les solutions homogènes d'un système d'équations polynomiales homogènes avec l'ensemble des points rationnels d'un variété projective.

Soit un morphisme de X vers l'espace affine . On a vu ci-dessus qu'il lui correspond un homomorphisme de k-algèbres . Notons f_i l'image de T_i. Pour tout point rationnel x de X, notons f_i(x) l'image de dans le corps résiduel k(x) = k. Alors:

• Proposition. Pour tout point rationnel x de X, l'image f(x) est le point rationnel de Aⁿ qui s'identifie à dans kⁿ.

Corps particuliers

En géométrie algébrique réelle, on étudie les points réels d'une variété algébrique définie sur .

En géométrie algébrique complexe, on étudie surtout les points complexes d'une variété algébrique définie sur .

En géométrie arithmétique, le centre d'intérêt porte sur les points rationnels X(K) d'une variété algébrique définie sur un corps de nombres ou un corps fini K.

Immersions et sous-variétés

Une sous-variété ouverte d'une variété algébrique X est une partie ouverte U de X munie du faisceau de k-algèbres O_X | _U. Une sous-variété ouverte d'une variété algébrique est une variété algébrique. Une partie ouverte de X est toujours implicitement munie de cette structure de sous-variété ouverte.

On dit qu'un morphisme de variétés algébriques est une immersion ouverte si f est une immersion ouverte topologique et s'il induit un isomorphisme de variétés algébriques entre X et la sous-variété ouverte f(X) de Y.

Toute variété affine est une sous-variété ouverte d'une variété projective.

On dit qu'un morphisme de variétés algébriques est une immersion fermée si f est une immersion fermée topologique et si le morphisme de faisceaux est surjectif.

Une sous-variété fermée de X est une partie fermée Z de X munie d'une structure de variété algébrique de sorte que l'inclusion canonique soit l'application sous-jacentes à une immersion fermée de variétés algébriques .

Toute partie fermée de X peut être munie d'une structure de sous-variété fermée (unique si on exige la sous-variété à être réduite).

On montre que toute sous-variété fermée d'une variété algébrique affine est affine, et que toute sous-variété fermée d'une variété projective est projective.

Une immersion de variétés algébriques est une composition (dans n'importe quel sens) d'une immersion ouverte et d'une immersion fermée. Une sous-variété est une sous-variété ouverte d'une sous-variété fermée (et aussi sous-variété fermée d'une sous-variété ouverte).

Une variété quasi-affine est une sous-variété d'une variété affine. Une variété quasi-projective est une sous-variété d'une variéte projective. Ainsi quasi-affine implique quasi-projective.