Clôture algébrique
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En mathématiques, une clôture algébrique d'un corps K est une extension algébrique de K qui est algébriquement close.

En utilisant le lemme de Zorn, il est possible de démontrer que tout corps possède une clôture algébrique et que cette clôture (Une clôture désigne tout obstacle naturel ou fait de la main de l'homme (barrière) et suivant tout ou partie du pourtour d'un terrain afin de matérialiser ses...) est unique à un isomorphisme près qui laisse invariants tous les éléments de K. En raison de cette unicité essentielle, on parle souvent de la clôture algébrique (En mathématiques, une clôture algébrique d'un corps K est une extension algébrique de K qui est algébriquement close.) d'un corps plutôt que d'une clôture algébrique.

La clôture algébrique d'un corps K peut être vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) comme la plus grande extension algébrique (En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, une extension algébrique L sur un corps K est une extension de corps dans laquelle tous les...) de K. En effet, il suffit de remarquer que si L est une extension algébrique de K, alors la clôture algébrique de L est également une clôture algébrique de K, donc L est contenu dans la clôture algébrique de K.

La clôture algébrique de K est également le plus petit corps algébriquement clos contenant K, puisque si M est un corps algébriquement clos contenant K, alors les éléments de M, algébriques sur K, forment une clôture algébrique de K.

La clôture algébrique d'un corps K a le même cardinal que K si K est infini ; elle est dénombrable si K est fini.

Exemples

  • D'après le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un...) fondamental de l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.), la clôture algébrique du corps des nombres réels est le corps des nombres complexes.
  • La clôture algébrique du corps des nombres rationnels est le corps des nombres algébriques.
  • Il existe des corps algébriquement clos dénombrables inclus dans le corps des nombres complexes, qui contiennent (strictement) le corps des nombres algébriques ; ce sont les clôtures algébriques des extensions transcendantes du corps des rationnels, comme par exemple la clôture algébrique de Q(π).
  • La clôture algébrique d'un corps fini d'ordre premier p est un corps dénombrable qui contient une copie du corps d'ordre pn, pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) entier naturel n (c'est en fait l'union de toutes ces copies).
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