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Différente

En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application définie à l'aide de la trace, dans l'anneau des entiers d'un corps de nombres algébriques \mathbb{K}\,.

Si OK est l'anneau des entiers de \mathbb{K}\, et tr désigne la trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la géométrie du plasma coronal, à travers des...) du corps de \mathbb{K}\, vers le corps de nombres rationnels \mathbb{Q}\,, alors

tr(xy)\,

est une forme quadratique (En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré deux avec un nombre quelconque de variables. Par exemple, la distance comprise entre deux points dans un espace euclidien à trois dimensions s'obtient en...) entière sur OK. Son discriminant (En mathématiques, le discriminant est une notion algébrique. Il est utilisé pour résoudre des équations du second degré. Il se généralise pour des polynômes de degré...) comme forme quadratique n'est pas forcément +1 (en fait ceci arrive seulement pour le cas \mathbb{K} = \mathbb{Q}\,. En définissant l'idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau. Les idéaux généralisent de façon féconde l'étude de la divisibilité pour...) fractionnaire I de \mathbb{K}\, comme l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) des x \in \mathbb{K}\, tels que tr(xy) est un entier pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) y dans OK, alors I contient OK. Par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.), l'idéal différent \delta_{\mathbb{K}}\, est I^{-1}\,, un idéal de OK.

La norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent comme une règle à suivre. Ce terme...) de \delta_{\mathbb{K}}\, est l'idéal de \mathbb{Z} engendré par le discriminant D_{\mathbb{K}}\, de \mathbb{K}\,.

La différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application définie à l'aide de la trace, dans l'anneau...) peut aussi être définie pour une extension de corps de nombres L/K (la différente relative) et pour les corps locaux. Elle joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les mâchoires. On appelle aussi joue le muscle qui sert principalement à...) un rôle dans la dualité de Pontryagin pour les corps p-adiques.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0. Vous pouvez soumettre une modification à cette définition sur cette page.

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