Différente - Définition et Explications

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En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application définie à l'aide de la trace, dans l'anneau des entiers d'un corps de nombres algébriques \mathbb{K}\,.

Si OK est l'anneau des entiers de \mathbb{K}\, et tr désigne la trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le...) du corps de \mathbb{K}\, vers le corps de nombres rationnels \mathbb{Q}\,, alors

tr(xy)\,

est une forme quadratique (En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré deux...) entière sur OK. Son discriminant (En mathématiques, le discriminant est une notion algébrique. Il est utilisé pour...) comme forme quadratique n'est pas forcément +1 (en fait ceci arrive seulement pour le cas \mathbb{K} = \mathbb{Q}\,. En définissant l'idéal fractionnaire (En mathématiques, et plus précisément en théorie des anneaux, un idéal...) I de \mathbb{K}\, comme l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des x \in \mathbb{K}\, tels que tr(xy) est un entier pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) y dans OK, alors I contient OK. Par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...), l'idéal différent \delta_{\mathbb{K}}\, est I^{-1}\,, un idéal de OK.

La norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un...) de \delta_{\mathbb{K}}\, est l'idéal de \mathbb{Z} engendré par le discriminant D_{\mathbb{K}}\, de \mathbb{K}\,.

La différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des...) peut aussi être définie pour une extension de corps de nombres L/K (la différente relative) et pour les corps locaux. Elle joue (La joue est la partie du visage qui recouvre la cavité buccale, fermée par les...) un rôle dans la dualité de Pontryagin (En mathématiques, notamment en analyse harmonique et dans la théorie des groupes...) pour les corps p-adiques.

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