Forme quadratique - Définition et Explications

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Introduction

En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré deux avec un nombre quelconque de variables. Par exemple, la distance comprise entre deux points dans un espace euclidien à trois dimensions s'obtient en calculant la racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le...) d'une forme quadratique (En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré deux...) impliquant six variables qui sont les trois coordonnées de chacun des deux points.

Les formes quadratiques d'une, deux et trois variables sont données par les formules suivantes :

F(x) = ax^2\,
F(x,y) = ax^2 + by^2 + 2cxy\,
F(x,y,z) = ax^2 + by^2 + cz^2 + 2dxy + 2exz + 2fyz\,

L'archétype de forme quadratique est la forme \,x^2 + y^2 + z^2 sur \,\R^3 qui définit la structure euclidienne. C'est pourquoi la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) des formes quadratiques utilise la terminologie de la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) (orthogonalité). La géométrie est un bon guide pour aborder cette théorie, malgré quelques pièges.

Les formes quadratiques interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques :

  • La classification des coniques et plus généralement des quadriques projectives équivaut essentiellement à celle des formes quadratiques sur l'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...) correspondant.
  • Si f:\R^n\mapsto \R est une fonction \,C^2, la partie d'ordre 2 de son développement de Taylor, disons en 0, définit une forme quadratique.

Si 0 est un point (Graphie) critique, cette forme, dans le cas où elle est non dégénérée, permet de décider si on a affaire à un maximum local, à un minimum local ou à un point selle.

  • Les formes quadratiques interviennent en mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes...) du solide (ellipsoïde (En mathématiques, un ellipsoïde est une surface du second degré de l'espace euclidien à trois...) d'inertie (L'inertie d'un corps découle de la nécessité d'exercer une force sur celui-ci pour modifier sa...)) et en Statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon....) (analyse en composantes principales).
  • Les formes quadratiques interviennent pour la résolution d'équations diophantiennes, Joseph-Louis Lagrange (Joseph Louis, comte de Lagrange (en italien Giuseppe Lodovico Lagrangia), né à Turin le...) les utilise pour la démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir...) du théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) des deux carrés de Fermat.

Formes quadratiques sur un espace vectoriel

Soit un espace vectoriel V sur un corps F. Pour l'instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas...), nous supposons que F possède une caractéristique différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des...) de 2. C'est le cas, en particulier, pour les corps réels et complexes qui sont de caractéristique 0. Le cas où la caractéristique vaut 2 sera traité séparément.

Une application Q : V \to  F est appelée forme quadratique sur V s'il existe une forme bilinéaire (En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, une forme...) symétrique B : V \times V \to F telle que

\forall u \in V, Q(u) = B(u,u)

B est alors unique et appelée la forme bilinéaire associée.

En effet, si \,u,v sont des vecteurs de V,

Q(u + v) = Q(u) + 2B(u,v) + Q(v)\,

donc l'expression nécessaire de la forme bilinéaire symétrique B en fonction de Q est:

B(u,v) = \frac{1}{2}\left(Q(u+v) - Q(u) - Q(v)\right)

C'est un exemple de polarisation d'une forme algébrique. Il existe alors une correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le...) bijective entre les formes quadratiques sur V et les formes bilinéaires symétriques sur V. À partir d'une forme donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent...), nous pouvons définir de manière unique l'autre forme.

Quelques autres propriétés des formes quadratiques :

  • Q(au) = a^2 Q(u)\, \forall a \in F et u \in V
  • Q obéit à la règle du parallélogramme :
Q(u+v) + Q(u-v) = 2Q(u) + 2Q(v)\,
  • Les vecteurs u et v sont orthogonaux par rapport à B ssi
Q(u+v) = Q(u) + Q(v)\,
  • Pour toute forme quadratique, il existe une base orthogonale, c'est-à-dire

une base \,(e_i)_{1\le i\le n} telle que \,B(e_i,e_j)=0 pour \,i\not=j. C'est une conséquence immédiate de la réduction de Gauss.

Expression matricielle

Si V est de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...) n, et si \,(e_i)_{1\le i\le n} est une base de V, on associe à B la matrice symétrique (ce qui exige que A soit une matrice carrée.) B définie par \mathbf{B}_{ij}=B(e_i,e_j) p. La forme quadratique Q est alors donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) par

Q(u) = \mathbf{^Tu} \mathbf{Bu} = \sum_{i,j=1}^{n}B_{ij}u^i u^j

où les \,u^i sont les coordonnées de u dans cette base, et u la matrice colonne formée par ces coordonnées. On dit que B est la matrice de Q par rapport à la base.

Q(u) est un polynôme (Un polynôme, en mathématiques, est la combinaison linéaire des produits de...) homogène de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines...) deux par rapport aux coordonnées de u, conformément à notre définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) de départ.

Soit \,(e^{\prime}_i)_{1\le i\le n} une autre base de V, et soit \,P la matrice de passage (Une matrice de passage permet d'écrire des formules de changement de base pour les...) exprimant les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles. De la relation \,\mathbf{u}=P\mathbf{u^\prime} on tire \mathbf{B^\prime}={}^TP\mathbf{B}P pour la matrice de B dans la nouvelle base. On dit que B et B' sont congruentes.

Rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du...)

Le noyau d'une forme quadratique Q ( on dit aussi radical) est par définition le sous-espace vectoriel (En algèbre linéaire, étant donné un espace vectoriel E sur un corps K, un...)

\mathrm{rad}(Q)=\{x\in V,\forall y\in V, B(x,y)=0\}

Cet espace est le noyau de l'application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation...) de V dans l'espace dual (L'espace dual d'un espace vectoriel E est l'ensemble des formes linéaires sur E. La structure d'un...) V* qui associe à x la forme linéaire (En algèbre linéaire, les formes linéaires désignent un type particulier...) y\mapsto B(x,y) Une forme quadratique est dite non dégénérée si rad(Q)=0, autrement dit si l'application linéaire ci-dessus est un isomorphisme.

Le rang de Q est par définition dim V - dim(rad(Q)). C'est aussi le rang de la matrice de Q par rapport à une base quelconque.

Sous-espaces orthogonaux

Si W est un sous-espace vectoriel de V, l'orthogonal de W est le sous-espace

 W^\perp = \{x\in V,\forall y\in W, B(x,y)= 0\}

Cette notion généralise l'orthogonalité (En mathématiques, l'orthogonalité est un concept d'algèbre linéaire...) dans les espaces euclidiens, mais il y a quelques pièges. Par exemple sur \,F\times F, la forme quadratique \,Q(x,y)=xy est non dégénérée, mais chacun des sous-espaces F\times\{0\} et \{0\}\times F est son propre orthogonal. Plus généralement, si Q est non dégénérée, on a bien \mathrm{dim}W+\mathrm{dim}W^\perp=\mathrm{dim}V, comme dans le cas euclidien. Mais l'intersection W\cap W^\perp n'est pas forcément réduite à zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr,...).

Discriminant (En mathématiques, le discriminant est une notion algébrique. Il est utilisé pour...)

Soit q une forme quadratique et A sa matrice par rapport à une base de V. Si l'on effectue un changement de base de matrice Q, la matrice de q dans la nouvelle base sera \,A^\prime ={}^tQAQ. D'après les propriétés élémentaires des déterminants, \det A^\prime=(\det Q)^2\det A . Si q est non dégénérée, l'image du déterminant dans le groupe quotient K^\ast/(K^\ast)^2 ne dépend pas de la base. C'est cet élément que l'on appelle le discriminant de la forme quadratique. Si q est dégénérée, on convient que le discriminant est nul.

Exemples

  • Corps des complexes

Si K=\mathbb{C}, le quotient K^\ast/(K^\ast)^2 est réduit à l'élément neutre, et le discriminant est sans intérêt.

  • Corps des réels

Si K=\mathbb{R}, le quotient K^\ast/(K^\ast)^2 s'identifie à \{\pm 1\}, vu comme sous-groupe multiplicatif de \mathbb{R}^\ast. On peut donc parler de formes quadratiques à discriminant positif ou négatif. Par exemple, le discriminant de la forme quadratique ax2 + 2bxy + cy2 sur \mathbb{R}^2, supposée non dégénérée, est donnée par le signe de \,ac-b^2. S'il est positif, la forme est définie positive ou définie négative, s'il est négatif, la réduction de Gauss sera de la forme (ux+vy)^2-(u^\prime x+ v^\prime y)^2. On retrouve, ce qui n'est pas surprenant, la théorie de l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) du second degré.

  • Corps finis

Si p est un nombre premier (Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et...), et K le corps \mathbb{F}_p à p éléments, la théorie élémentaires des résidus quadratiques assure que K^\ast/(K^\ast)^2 est encore isomorphe au groupe à deux éléments.

Le problème de classification

On dira que deux formes quadratiques Q et Q' sont équivalentes s'il existe une application linéaire inversible \,\phi telle que \,Q^\prime=Q\circ\phi. Il revient au même de dire que leur matrices dans une même base sont congruentes. Classer les formes quadratiques sur un espace vectoriel V c'est

  • déterminer les classes d'équivalence de la relation précédente (qui est clairement une relation d'équivalence)
  • déterminer les orbites de l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des formes quadratiques sous l'action du groupe linéaire

\,Gl(V) donnée par  (\phi,Q)\mapsto Q\circ\phi

(ce ne sont que deux façons d'exprimer la même chose).

On a les résultats suivants.

  • Si V est un espace vectoriel de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) finie sur un corps F algébriquement clos

(de caractéristique \not=2) deux formes quadratiques sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang. C'est une conséquence directe de la réduction de Gauss

  • Si V est un espace vectoriel de dimension finie sur \,\R,

deux formes quadratiques sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang et même signature (loi d'inertie de Sylvester).

Deux formes quadratiques équivalentes ont même rang et même discriminant, mais l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de...) est loin d'être en général vrai.

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