Tronc (géométrie) - Définition

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Un tronc est la partie d'un solide qui se trouve (qui " reste ") entre deux plans parallèles. Le solide est généralement un cône ou une pyramide.

Les faces du solide obtenues dans les plans de coupe sont appelées bases du tronc, et la distance entre les deux plans de coupe est la hauteur du tronc.

Le volume d'un tronc est le produit de sa hauteur par la moyenne arithmétique des aires de ses bases et de leur moyenne géométrique. Le volume V du tronc s’exprime par la formule générale :

$V\ =\ \frac{h}{3} \times (B_1 + \sqrt{B_1 \times B_2} + B_2)$ ,

où h est la hauteur du tronc entre les deux plans parallèles, et B₁ et B₂ sont les aires des bases du tronc (contenues dans les plans parallèles de coupe du solide. Par exemple, pour calculer le volume d'un tronc de cône orthogonal :

$V\ =\ \frac{\pi h}{3} \times (r_1^2 + r_1 \times r_2 + r_2^2)$ ,

où h est la distance séparant les plans, et r₁ et r₂ sont les rayons des deux bases circulaires.

Un autre moyen équivalent, facile à mémoriser, et plus intuitif, est de calculer le volume du cône ou de la pyramide avant d’en couper le sommet, et de retrancher le volume du cône ou de la pyramide coupé au sommet. Il faut alors déterminer la hauteur h₀ du premier cône non tronqué, et retenir les formules de calcul du volume d'un cône ou d'une pyramide, qui sont des cas dégénérés de cette précédente formule :

Ces cas sont obtenus pour les solides finis en les coupant avec un plan seulement. Dans ce cas, le deuxième plan passe par le sommet de la pyramide ou cône et la deuxième base a une aire nulle la formule se simplifie en :

$V\ =\ \frac{h_0 \times B_1}{3}$ , où h et h₀ sont égaux.

D’autres cas dégénérés de la formule principale existent avec des volumes, parfois appelés tronçons car les solides coupés sont infinis tels que les parallélépipèdes, troncs cylindriques ou troncs de cylindroïdes, dont toutes les faces (ou droites génératrices) sont parallèles à un même vecteur directeur, à l’exception de deux faces par lesquelles passent les plans de coupe parallèles ; dans ce cas les deux bases parallèles de coupe ont des aires égales, et la formule se simplifie en :

$V\ =\ h \times B_1$ ,

où B₁ est l’aire d’une des deux bases parallèles de coupe et h est la distance entre les deux plans de coupe (mesurée orthogonalement à ces plans).

La formule peut être employée pour calculer le volume de n'importe quel polyèdre en le découpant d'abord en une suite de troncs (ou de tétraèdres qui sont des troncs dégénérés pyramidaux, à base unique triangulaire) et en addditionnant leur volumes respectifs : il suffit de choisir une face quelconque et de couper le polyèdre avec un plan parallèle à cette face et passant par un sommet du polyèdre n’appartenant à aucune face parallèle à la face choisie.