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Pyramide

Introduction

Ensemble des pyramides
Pyramide carrée
Faces n triangles,
1 n-gone
Arêtes 2n
Sommets n+1
Groupe de symétrie Cnv
Polyèdre (Traditionnellement, un polyèdre est une forme géométrique à 3 dimensions ayant des faces planes qui se rencontrent le long d'arêtes droites. Le mot polyèdre...) dual Auto-duaux
Propriétés convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple, un cube plein, un disque ou...)

Une pyramide (du grec pyramis) à n côtés est un polyèdre formé en reliant une base polygonale de n côtés à un point (Graphie), appelé l'apex, par n faces triangulaires (n ? 3). En d'autres mots, c'est un solide conique (Les coniques constituent une famille très utilisée de courbes planes algébriques, qui peuvent être définies de plusieurs manières différentes, toutes équivalentes entre elles.) avec une base polygonale.

Lorsque cela n'est pas précisé, la base est supposée carrée. Pour une pyramide triangulaire chaque face peut servir de base, avec le sommet opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une plante sont dits opposés lorsqu'ils sont insérés au même...) pour apex. Le tétraèdre (Le tétraèdre (du grec tétra : quatre), est un solide composé de quatre triangles, de la famille des pyramides, donc des cônes.) régulier, un des solides de Platon, est une pyramide triangulaire. Les pyramides carrées et pentagonales peuvent aussi être construites avec toutes les faces régulières, et par conséquent sont des solides de Johnson. Toutes les pyramides sont des auto-duaux.

Les pyramides sont une sous-classes des prismatoïdes.

Origine du nom

Ce sont les Grecs qui ont introduit le nom de « pyramide », comparant les pyramides d'Égypte avec une de leurs pâtisseries de forme similaire appelée « pyramis » ou « pyramous ».

Aire de la surface

L'aire de la surface d'une pyramide régulière, c'est-à-dire une pyramide dont toutes les faces sont des triangles isocèles identiques, est A =A_b+ \frac{ps}{2}Ab est l'aire de la base, p le périmètre (Le périmètre d'une figure plane est la longueur du bord de cette figure. Le calcul du périmètre sert par exemple à déterminer la quantité de grillage nécessaire à la clôture d'un terrain,...) de la base et s la hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) de la pente le long de la bissectrice (La bissectrice d'un secteur angulaire est la demi-droite issue du sommet de l'angle qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure. Elle forme de ce fait l'axe de symétrie de cet angle.) d'une face (ie la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...) à partir du milieu d'une arête quelconque de la base jusqu'à l'apex).

Volume

Le volume d'une pyramide est V = \frac{1}{3} AhA est l'aire de la base et h la hauteur de la base à l'apex. Ceci est valable pour toute localisation de l'apex, à condition que h soit mesuré comme la distance perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin per-pendiculum (fil à plomb) et justifie la...) à partir du plan qui contient la base.

Ceci peut être démontré par le calcul suivant :

En utilisant le fait que les dimensions d'une section plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle d'un couteau, munie de deux poignées, à chaque extrémité de la lame. Elle permet le...) parallèle à la base augmente de façon linéaire à partir de l'apex vers la base. Alors, la section plane à une hauteur quelconque y est la base mise à l'échelle par un facteur de \frac{h-y}{h}, où h est la hauteur à partir de la base vers l'apex. Puisque l'aire d'une forme quelconque est multipliée par le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses...) de la forme mise à l'échelle, l'aire de la section plane à une hauteur y est \frac{A}{h^2}(h-y)^2.
Le volume est donné par l'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à...) \frac{A}{h^2} \int_0^h (h-y)^2 \, dy = \frac{-A}{3h^2} (h-y)^3 \bigg|_0^h = \frac{1}{3}Ah.

(Trivialement, le volume d'une pyramide à base carrée avec un apex d'hauteur égale à la moitié de la base peut être vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) comme un sixième d'un cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de l'espace. C'est un des cinq solides de Platon, le seul ayant exactement 6 faces,...) formé par six pyramides de cette sorte (en paires opposées) par le centre. Alors "base fois la hauteur" correspond à un demi du volume du cube, et par conséquent trois fois le volume de la pyramide, ce qui donne le facteur un tiers).

Pyramide géométrique vue en perspective

Généralisation aux dimensions supérieures

Une pyramide est un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être...) géométrique ayant pour base un polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, formée d'une suite cyclique de segments consécutifs et délimitant une...) quelconque, auquel on relie tous ses sommets à un point unique. Par abus de langage, on dit qu'elle est régulière si toutes ses faces sont des polygones réguliers.

En généralisant, une hyperpyramide de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son...) 4 est un polychore ayant pour base un polyèdre auquel on relie tous ses sommets à un point unique. Le pentachore en est l'exemple le plus simple.

Et donc, une hyperpyramide de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une...) n est un polytope (En géométrie, un polytope est la généralisation à toutes dimensions de la notion de polygone pour deux dimensions et de polyèdre pour trois dimensions. Ce terme est aussi utilisé...) à n dimensions, qui a pour base un polytope à n-1 dimensions, et dont tous les sommets sont reliés à un point unique. Une hyperpyramide peut être considérée comme l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut...) de tous les "états" pris par sa base lors de son rétrécissement progressif jusqu'à l'apex le long d'une médiane (Le terme de médiane, du latin medius, qui est au milieu, possède plusieurs acceptations en mathématiques :) centrale (reliant le centre de gravité (Le centre de gravité est le point d'application de la résultante des forces de gravité ou de pesanteur. Il est également le point d'intersection de tous les plans qui...) de la base au sommet); tous ces "états" de la base sont en fait l'intersection de l'hyperpyramide avec des hyperplans parallèles à la base. L'hypervolume d'une hyperpyramide de dimension n est donné par la formule : V_n = \frac{B_{n-1} \times h}{n} ,où Bn ? 1 est l'hypervolume de la base et h la hauteur.

Les premières hyperpyramides
Nom Point Segment Triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est...) Pyramide 4-hyperpyramide 5-hyperpyramide
Explication rien (d=-1) n'est relié à un point (d=0) un point (d=0) est relié à un point (d=0) un segment (d=1) est relié à un point (d=0) un polygone (d=2) est relié à un point (d=0) un polyèdre (d=3) est relié à un point (d=0) un polychore (d=4) est relié à un point (d=0)
Dimension 0 1 2 3 4 5
Image Point graphe.jpg Segment graphe.jpg Triangle illustration.svg Square pyramid.png Hyperpyramide-animation.gif


Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) simplexe est une hyperpyramide, et la plus simple de chaque dimension.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0. Vous pouvez soumettre une modification à cette définition sur cette page.

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