Moyenne géométrique - Définition et Explications

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La moyenne géométrique d'une série statistique quantitative discrète positive non nulle est définie telle que son logarithme est la moyenne arithmétique des logarithmes des valeurs discrètes positives non nulles de la distribution.

Sa formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits...) mathématique peut se faire comme suit :

\log{\bar{x}} = \frac{\log{x_1} + \log{x_2} + .. .. + \log{x_n}}{n} = {1 \over n} \sum_{i = 1}^n{\log{x_i}}.

On en déduit :

\bar{x} = \sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times .. .. \times x_n} = \sqrt[n]{\prod_{i = 1}^n{x_i}}.

Pour une série statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon....) dont le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) total ( Total est la qualité de ce qui est complet, sans exception. D'un point de vue comptable, un...) d’occurrences est infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus,...) ou inconnu, mais dont le nombre de valeurs positives non nulles possibles est fini et leurs fréquences respectives dans la série sont connues, la formulation mathématique devient :

\log{\bar{x}} = f_1.\log{x_1} + f_2.\log{x_2} + .. .. +  f_n.\log{x_n} = \sum_{i = 1}^n{f_i.\log{x_i}}, où \sum_{i = 1}^n{f_i} = 1.

On en déduit :

\bar{x} = \exp(f_1.\log{x_1} + f_2.\log{x_2} + .. .. + f_n.\log{x_n}) = \exp(\sum_{i = 1}^n{f_i.\log{x_i}}),

d’où :

\bar{x} = {x_1}^{f_1} \times {x_2}^{f_2} \times .. ..  \times {x_n}^{f_n} = \prod_{i = 1}^n{{x_i}^{f_i}}.

La moyenne géométrique (La moyenne géométrique d'une série statistique quantitative discrète positive non nulle est...) d'une distribution f d'une variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle...) continue à valeur dans un intervalle scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les...) fini [x0, x1] est la généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de...) à la limite de la formule statistique discrète précédente :

\log{\bar{f}_{x_0}^{x_1}} = \int_{x = x_0}^{x_1}{\log{x}.f(x).dx},

d’où :

\bar{f}_{x_0}^{x_1} = exp\left(\int_{x = x_0}^{x_1}{\log{x}.f(x).dx}\right), où \int_{x = x_0}^{x_1}{f(x).dx} = 1.

Sa dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) n'est pas une fréquence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un...), mais est celle de sa variable continue.

Si la distribution f est définie sur toutes les valeurs réelles de sa variable continue, la moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de...) géométrique de la distribution est :

\bar{f} = exp\left(\int_{x = -\infin}^{+\infin}{\log{x}.f(x).dx}\right), où \int_{x = -\infin}^{+\infin}{f(x).dx} = 1.
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