Décomposition de Frobenius

On considère un K-espace vectoriel E de dimension finie et un endomorphisme u de cet espace. La décomposition de Frobenius est la décomposition de l'espace E en somme directe de sous-espaces cycliques. Cette décomposition fait apparaitre les facteurs invariants de l'endomorphisme u. Combinée avec la décomposition de Dunford (dans un ordre ou dans l'autre), on obtient la réduction de Jordan. Contrairement à ces dernières, la décomposition de Frobenius peut s'effectuer sur un corps quelconque, on ne suppose pas ici que K est algébriquement clos.

Soit x un vecteur de E, l'ensemble $I_x=\{P\in K[X]\mid P(u)(x)=0\}$ est un idéal non nul de K[X], il est donc engendré par un unique polynôme normalisé π_u,x appelé polynôme conducteur de u en x, ou parfois polynôme minimal local de u en x.

Soit x un vecteur de E, l'ensemble $S_x=\{P(u)(x)\mid P\in K[X]\}$ est un sous-espace vectoriel de E stable par u appelé sous-espace u-cyclique engendré par x, ou encore clôture u-stable de x.

Soit $P\in K[X]$, on a $P\in I_x$ si et seulement si $\forall y\in S_x,P(u)(y)=0$. Ainsi le polynôme conducteur π_u,x est le polynôme minimal de l'endomorphisme induit par u sur le sous-espace S_x.

La dimension de S_x est égale au degré du polynôme π_u,x.

Pour tout vecteur x de E, le polynôme conducteur π_u,x divise le polynôme minimal π_u de u. On dira que x est u-maximum lorsque π_u,x = π_u. La décomposition de Frobenius est basée sur les deux résulats non triviaux suivants :

• Tout endomorphisme u admet un vecteur u-maximum.
• Pour tout vecteur u-maximum x, S_x admet un supplémentaire stable.

En procédant par récurrence, on parvient alors à la :

Il existe une suite de vecteurs $x_1,x_2,\dots ,x_p$ de E telle que

• $E=S_{x_1}\oplus S_{x_2}\oplus \cdots \oplus S_{x_p}$
• ${\pi }_{u,x_p}\mid \cdots \mid {\pi }_{u,x_2}\mid {\pi }_{u,x_1}$

Les polynômes ${\pi }_{u,x_i}$ ne dépendent pas du choix des vecteurs x_i, ce sont les facteurs invariants de u. Le polynôme minimal ${\pi }_u={\pi }_{u,x_1}$ et le polynôme caractéristique ${\chi }_u={\pi }_{u,x_1}{\pi }_{u,x_2}\dots {\pi }_{u,x_p}$.

Deux endomorphismes sont semblables ssi ils ont les mêmes facteurs invariants.

Les endomorphismes induits par u ont des propriétés spécifiques, ce sont des endomorphismes cycliques dont il ne reste plus qu'à étudier les propriétés spécifiques.

On dit que u est un endomorphisme cyclique ssi il existe un élément x de E tel que S_x = E.

On peut caractériser les endomorphismes cycliques de plusieurs manières : un endomorphisme u de E est cyclique si et seulement si

• Le degré du polynôme minimal de u est égal à la dimension de E
• Le polynôme minimal et le polynôme caractéristique de u sont égaux (au signe près).
• Un endomorphisme commute avec u si et seulement si c'est un polynôme en u.
• Il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est une matrice compagnon. C'est alors la matrice compagnon du polynôme minimal de u.

• La décomposition de Frobenius permet d'étudier le commutant et le bicommutant d'un endomorphisme.

• Elle permet aussi de démontrer élégamment le fait qu'une matrice et sa transposée sont semblables. On le démontre manuellement pour une matrice compagnon et cela suffit.