Dérivée de Lie

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Introduction

La dérivée de Lie est une opération de différentiation naturelle sur les champs de tenseurs, en particulier les formes différentielles, généralisant la dérivation directionnelle d'une fonction sur une variété différentielle.

On note ici M une variété différentielle de dimension n, ΩM l'espace des formes différentielles sur M et X un champ de vecteurs sur M.

Premiers exemples

Dérivée de Lie d'une fonction numérique

Définition comme dérivée directionnelle

La dérivée de Lie généralise aux variétés différentielles la notion de dérivée directionnelle d'une fonction numérique.

Si f est une fonction différentiable de la variété différentielle M dans $R$ , si X est un champ de vecteurs sur M, la dérivée de Lie de f au point p est :

L_{X} f (p) = X_{p} \cdot f = df (p) [X (p)]

C'est-à-dire l'image du vecteur X(p) par la différentielle de f en p. Si la variété est munie d'une structure riemannienne, il est encore possible d'écrire ce calcul à l'aide du gradient de f :

L_{X} f (p) = X_{p} \cdot f = ⟨ X ∣\nabla f (p)⟩

En coordonnées locales, et en utilisant les conventions de sommation d'Einstein, on peut encore l'écrire ainsi :

L_{X} f (p) = X^{a} \frac{\partial f}{\partial x ^{a}}

Définition équivalente, en suivant le flot

Avec les mêmes notations, le champ de vecteurs X définit une famille de courbes intégrales sur M.

Notamment il existe une courbe γ(t), tracée sur M, passant par p en t=0, et tangente au champ de vecteurs en tout point :

\frac{d γ}{d t} (t) = X (γ (t))

La dérivée de Lie de la fonction f peut alors également être définie par :

$L X f (p) = \frac{d}{d t} f (γ (t)) ∣ t = 0$ .

Identification des dérivations et des champs de vecteurs

Soit de nouveau une variété différentielle M, F l'anneau des fonctions numériques indéfiniment différentiables sur M.

Une dérivation est une application de F dans F, linéaire et qui vérifie la formule de Leibniz :

D (λ f + g) = λ D (f) + D (g) D (f g) = f D (g) + g D (f)

Notamment, pour tout champ de vecteurs X, la dérivation de Lie $f \mapsto L_{X} f$ définit une dérivation. La réciproque est vraie : toute dérivation de M est une application de la forme $L_{X}$ pour un certain champ de vecteurs X. On peut donc identifier l'espace vectoriel des dérivations et celui des champs de vecteurs.

La composée de deux dérivations n'est plus une dérivation. Le théorème de Schwarz de l'analyse à plusieurs variables ne se généralise pas : si X et Y sont deux champs de vecteurs, les dérivées secondes X.(Y.f) et Y.(X.f) ne sont pas nécessairement égales. Ce défaut de commutation est à l'origine de la définition du crochet de Lie qui coïncide avec la dérivée de Lie des champs de vecteurs.

Dérivée de Lie d'un champ de vecteurs

Définition par le crochet de Lie

Soit V une variété différentielle, X et Y deux champs de vecteurs sur V.

Alors l'expression :

L_{X} L_{Y} - L_{Y} L_{X}

est une dérivation sur V, ce qui permet de parler du champ de vecteurs associé. On le note [X,Y] (crochet de Lie de X et Y), ou encore $L_{X} Y$ (dérivée de Lie de Y selon X), de sorte que :

L [X, Y] = L L_{X} Y = L_{X} L_{Y} - L_{Y} L X = - L L_{Y} X

qui se traduit, pour toute fonction indéfiniment différentiable f, par :

L_{[X, Y]} f = [X, Y] \cdot f = X \cdot (Y \cdot f) - Y \cdot (X \cdot f) = L_{X} Y . f - L_{Y} X . f

Il définit en effet sur l'espace vectoriel des champs de vecteurs une structure d'algèbre de Lie.

(attention il n'y a pas associativité : d'une part $X \cdot (Y \cdot f) = L_{X} L_{Y} f$ d'autre part $(X \cdot Y) \cdot f = L_{L_{X} Y} f$ et les deux sont bien évidemment différents, la différence est $L_{Y} L_{X} f$ )

En coordonnées locales, toujours dans le cadre des conventions d'Einstein

[X, Y] = X \cdot (Y^{a} \frac{\partial}{\partial x ^{a}}) - Y \cdot (X^{a} \frac{\partial}{\partial x ^{a}}) = (X^{b} \frac{\partial Y ^{a}}{\partial x ^{b}} - Y^{b} \frac{\partial X ^{a}}{\partial x ^{b}}) \frac{\partial}{\partial x ^{a}}

Définition en suivant le flot

Soit ξ_t le flot du champ de vecteurs X. Il est possible de transporter le vecteur Y à l'aide de l'application de flot, et d'en tirer la valeur de la dérivée de Lie :

[X, Y] (p) = L X Y (p) = lim t \to 0 \frac{1}{t} (Y (p) - ξ_{t}^{*} Y (p))

où $ξ_{t}^{*} Y (p) := (d ξ_{t})_{p}^{- 1} (Y (ξ_{t} (p)))$

Approche axiomatique générale

Il existe une unique application linéaire $L_{X} : Ω M \to Ω M$ vérifiant les hypothèses suivantes :

$L_{X}$ préserve le degré.
$L_{X}$ est une dérivation de l'algèbre ΩM.
$L_{X}$ et d commutent.

Définition dynamique

Soit φ_t le flot de X (pour t petit). On défini la dérivée de Lie d'un champ de tenseurs K par :

L X K = \frac{d}{d t} ∣_{t = 0} ϕ_{t}^{*} K

où $ϕ_{t}^{*}$ est le pullback associé à $\phi_t\$ .

Formule de Cartan

L_{X} = ι_{X} d + d ι_{X}

Application :

L_{f X} ω = f . L_{X} ω + df \land ι_{X} ω

Naturalité

φ^{*} [L X ω] = L φ^{X} [φ^{ω}]

Définition de la divergence

Dans R on a la formule suivante :

L_{X} [d x_{1} \land \dots \land d x_{n}] = [div X] . d x_{1} \land \dots \land d x_{n}

qu'on peut généraliser en définition de la divergence d'un champ de vecteur sur toute variété munie d'une forme volume ω, en particulier les variétés riemanniennes :

Cette définition a bien un sens car en tout point x de M l'espace des formes multilinéaires alternée en degré maximal est de dimension 1.

Vu la définition dynamique donnée plus haut, le flot local du champ X préserve la forme volume si et seulement si sa divergence est nulle.

Pour la forme volume associée à une métrique riemannienne g on a :

div (f X) = f . div X + g (\nabla f, X)