Dual d'un polyèdre

En géométrie, il existe plusieurs façons (géométrique, combinatoire) de mettre les polyèdres en dualité. Dans chaque cas, à tout polyèdre est associé un polyèdre appelé dual du premier, de telle sorte que

• le dual du polyèdre dual est le polyèdre initial,
• les faces de l'un sont en correspondance avec les sommets de l'autre, en respectant les propriétés d'adjacence.

L'exemple le plus simple de dualité s'obtient pour les polyèdres réguliers, en reliant les centres de faces adjacentes. Plus généralement, on définit une dualité en considérant l'opération de conjugaison par rapport à la sphère circonscrite.

On peut se passer de support géométrique et définir une notion de dualité en termes purement combinatoires, qui s'étend d'ailleurs aux polyèdres et polytopes abstraits.

Le cube donne l'octaèdre, le dodécaèdre l'icosaèdre et le tétraèdre est son propre dual.
Le petit dodécaèdre étoilé est le dual du grand dodécaèdre, et le grand dodécaèdre étoilé celui du grand icosaèdre.
Les duaux des solides archimédiens sont les solides de Catalan.
Les duaux des prismes sont des diamants (ou bipyramides), ceux des antiprismes des antidiamants.

solide		dual
tétraèdre		tétraèdre
cube		octaèdre
octaèdre		cube
icosaèdre		dodécaèdre
dodécaèdre		icosaèdre
petit dodécaèdre étoilé		grand dodécaèdre
grand dodécaèdre étoilé		grand icosaèdre
tétraèdre tronqué		triakitétraèdre
cube tronqué		triakioctaèdre
octaèdre tronqué		tétrakihexaèdre
cuboctaèdre		dodécaèdre rhombique
petit rhombicuboctaèdre		icositétraèdre trapézoïdal
grand rhombicuboctaèdre		hexakioctaèdre
cube adouci		icositétraèdre pentagonal
dodécaèdre tronqué		triaki-icosaèdre
icosaèdre tronqué		pentakidodécaèdre
icosidodécaèdre		triacontaèdre rhombique
petit rhombicosidodécaèdre		hexacontaèdre trapézoïdal
grand rhombicosidodécaèdre		hexaki icosaèdre
dodécaèdre adouci		hexacontaèdre pentagonal

géode par triangulation

géode en nid d'abeille