Exponentielle d'une matrice

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Introduction

En mathématiques, l'exponentielle d'une matrice est une fonction d'une matrice carrée semblable à l'exponentielle. De façon abstraite, elle fait le pont entre l'algèbre de Lie sur une matrice et le groupe de Lie qui lui correspond.

Définition

Définition-théorème — La série d'applications de terme général

M_{n} (C) ⟶ M_{n} (C) A ⟼ \frac{1}{k !} A^{k}

converge normalement sur toute partie bornée de $M_{n} (C)$ . On appelle alors exponentielle l'application de $M_{n} (C)$ dans $M_{n} (C)$ définie par

\forall A \in M n (C), exp A = e^{A} = \sum k \geq 0 \frac{1}{k !} A^{k}

Pour n=1, on retombe sur la définition de l'exponentielle classique.

Propriétés

Soient X et Y deux matrices n×n complexes et soient a et b deux nombres complexes. La matrice identité est dénotée I, et la matrice nulle, 0. L'exponentielle d'une matrice possède les propriétés suivantes :

e = I
e**e = e
e**e = I
Si X**Y = Y**X, alors e**e = e
Si Y est une matrice inversible, alors $e^{Y X Y^{- 1}} = Y e^{X} Y^{- 1}$ .
$det (e^{X}) = e^{tr (X)}$
exp(X) = (e), où X désigne la transposée de X. Il s'ensuit que si X est une matrice symétrique, alors e est aussi symétrique, et que si X est une matrice antisymétrique, alors e est une matrice orthogonale.
exp(X) = (e), où X signifie le conjugué de la matrice transposée de X. Il en résulte que si X est une matrice hermitienne, alors e est aussi hermitienne, et que si X est une matrice antihermitienne (c'est-à-dire opposée au conjugué de sa transposée), alors e est une matrice unitaire.

Équations différentielles linéaires

Une des premières applications de l'exponentielle de matrices est la résolution des équations différentielles ordinaires. En effet, de l'équation (1) ci-dessous, on déduit que la solution de :

\frac{d}{d t} y (t) = A y (t), y (0) = y_{0},

où A est une matrice, est donnée par

y (t) = e^{A t} y_{0} .

L'exponentielle d'une matrice peut aussi servir à résoudre les équations non-homogènes :

\frac{d}{d t} y (t) = A y (t) + z (t), y (0) = y_{0} .

Voir la section Applications pour un exemple.

Il n'existe pas de solution explicite pour les équations différentielles de la forme :

\frac{d}{d t} y (t) = A (t) y (t), y (0) = y_{0},

où A n'est pas constant, mais la série de Magnus donne la solution en tant que somme infinie.

L'exponentielle d'une somme

On sait que l'identité e = e**e est valable pour tous nombres complexes x et y. On peut en fait montrer qu'elle est également valable pour deux matrices qui commutent. Autrement dit, si les matrices X et Y commutent, alors

e = e**e

Cependant, si ce n'est pas le cas, alors l'égalité n'est pas nécessairement vraie. Dans ce cas, la formule de Baker-Campbell-Hausdorff donne l'expression de e − e**e en fonction du crochet [X,Y] de X et Y, et de tous les crochets itérés. Plus précisément, cette formule donne le logarithme de e**e, par une série ne faisant intervenir que X, Y et leurs crochets. Les premiers termes sont les suivants:

lo g (exp (X) exp (Y)) = X + Y + \frac{1}{2} [X, Y] + \frac{1}{12} ([X, [X, Y]] + [Y, [Y, X]]) + \frac{1}{24} [X, [Y, [X, Y]]] - \frac{1}{720} ([[[[X, Y], Y], Y], Y] + [[[[Y, X], X], X], X]) + \frac{1}{360} ([[[[X, Y], Y], Y], X] + [[[[Y, X], X], X], Y]) + \frac{1}{120} ([[[[Y, X], Y], X], Y] + [[[[X, Y], X], Y], X]) + \dots

L'application exponentielle

L'exponentielle d'une matrice est toujours inversible. L'inverse de e est donné par e. Dès lors, cette fonction nous donne une application

exp : M_{n} (C) \to GL_{n} (C)

de l'ensemble des matrices n×n vers le groupe général linéaire, c'est-à-dire le groupe de toutes les matrices inversibles. On appelle logarithme d'une matrice X toute matrice Y telle que e = X ; le logarithme de X n'est pas unique en général.

Pour deux matrices X et Y, nous avons

∣ e^{X + Y} - e^{X} ∣ \leq ∣ Y ∣ e^{∣ X ∣} e^{∣ Y ∣},

où || · || désigne une norme matricielle arbitraire. Il suit que l'application exponentielle est continue et lipschitzienne sur tout sous-ensemble compact de M_n(C).

La bijection

t \mapsto e^{tX}, t \in R

définit une courbe de classe $C^{\infty}$ dans le groupe linéaire qui passe par l'identité en t = 0. Cette courbe est en fait un sous-groupe à un paramètre de $G L_{n} (C)$ puisque

e^{tX} e^{s X} = e^{(t + s) X} .

La dérivée de cette courbe au point t est donnée par

\frac{d}{d t} e^{tX} = X e^{tX} . (1)

La dérivée au point t = 0 est la matrice X, ce qui revient à dire que X génère ce sous-groupe à un paramètre.

Plus généralement,

\frac{d}{d t} e^{X (t)} = \int_{0}^{1} e^{(1 - α) X (t)} \frac{d X ( t )}{d t} e^{α X (t)} d α

Calculs de l'exponentielle d'une matrice

Le calcul d'une exponentielle de matrice n'est pas a priori un problème facile. Cependant, dans certains cas, et notamment ceux d'une matrice diagonale et d'une matrice nilpotente, il ne présente aucune difficulté. Une fois cette remarque faite, le cas général peut se traiter en se ramenant aux deux cas précédents.

Matrice diagonale

Si A est une matrice diagonale, c'est-à-dire :

A = [a_{1} 0 \dots 00 a_{2} \dots 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 \dots a_{n}],

alors son exponentielle est obtenue en calculant l'exponentielle de chacun des termes de la diagonale principale :

e^{A} = [e^{a_{1}} 0 \dots 00 e^{a_{2}} \dots 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 \dots e^{a_{n}}] .

Cette propriété permet de calculer simplement l'exponentielle des matrices diagonalisables. Si A = UDU, avecD est diagonale, alors e = Ue**U.

Matrice nilpotente

Une matrice N est nilpotente si N = 0 pour un entier q. Dans ce cas, l'exponentielle d'une matrice e se calcule directement à partir de son développement en série, puisque celui-ci ne comporte alors qu'un nombre fini de termes :

e^{N} = I + N + \frac{N ^{2}}{2 !} + \frac{N ^{3}}{3 !} + \dots + \frac{N ^{q - 1}}{( q - 1 )!}

Généralisation

Lorsque le polynôme minimal d'une matrice X est scindé, X peut s'exprimer sous la forme

X = A + N

où

A est diagonalisable
N est nilpotente
A commute avec N.

C'est la décomposition de Dunford.

Dès lors, le calcul de l'exponentielle de X se réduit aux deux cas précédents :

e = e = e**e

Dans le cas complexe, on peut aussi faire appel à la réduction de Jordan.

Soit J la forme de Jordan de X, et P la matrice de passage. Alors,

e = PeP

Puisque

J = J_{a_{1}} (λ_{1}) \oplus J_{a_{2}} (λ_{2}) \oplus \dots \oplus J_{a_{n}} (λ_{n}),

En conséquence, il faut seulement connaître la méthode pour calculer l'exponentielle d'un bloc de Jordan. Chacun est de la forme

J_{a} (λ) = λ I + N

où N est la matrice nilpotente spéciale. L'exponentielle du bloc est donné par

e^{λ I + N} = e^{λ} e^{N} .

Exemple de calculs

Soit la matrice

B = [2117 6 - 5 - 1 - 64 416]

qui a la forme de Jordan

J = [16100160004]

et la matrice de transition

P = [- 1 1 \frac{5}{8} 1 - 1 - \frac{1}{8} 0 20]

Maintenant,

J = J_{2} (16) \oplus J_{1} (4)

= PeP

Alors,

exp (16 I + [0100]) = e^{16} ([1001] + [0100] + \frac{1}{2 !} [0000] + \dots) = [e^{16} e^{16} 0 e^{16}]

L'exponentielle de la matrice 1×1 est triviale, avec e=e, d'où

e^{B} = P [e^{16} e^{16} 00 e^{16} 000 e^{4}] P^{- 1} = \frac{1}{4} [5 e^{4} - e^{16} 5 e^{4} - 5 e^{16} - 2 e^{16} - e^{4} + e^{16} - e^{4} + 5 e^{16} 2 e^{16} 0 0 4 e^{16}]

Applications

Équations différentielles linéaires

L'exponentielle d'une matrice peut servir à résoudre des équations différentielles linéaires.

Sachant que y′ = Cy a pour solution e, considérons le vecteur

\mathbf{y}(t) = \begin{pmatrix} y_1(t) \ \vdots \y_n(t) \end{pmatrix}

Nous pouvons exprimer un système d'équations différentielles linéaires sous la forme

y^{'} (t) = A y (t) + b (t)

En multipliant par e, nous avons

e^{- A t} y^{'} - e^{- A t} A y = e^{- A t} b

\frac{d}{d t} (e^{- A t} y) = e^{- A t} b

La résolution du système se ramène donc au calcul de e.

Exemple (équation homogène)

Supposons que nous ayons

x^{'} = 2 x - y + z y^{'} = 3 y - 1 z z^{'} = 2 x + y + 3 z

La matrice associée est

M = [2 - 1 103 - 12 13]

et son exponentielle est

e^{tM} = [2 e^{t} - 2 t e^{2 t} - 2 e^{2 t} 0 - 2 e^{t} + 2 (t + 1) e^{2 t} 2 (t + 1) e^{2 t} 02 t e^{2 t} 2 t e^{2 t} 2 e^{t}]

La solution générale du système est donc

\begin{bmatrix}x \y \ z\end{bmatrix}= C_1\begin{bmatrix}2e^t - 2te^{2t} \-2e^t + 2(t+1)e^{2t}\2te^{2t}\end{bmatrix} +C_2\begin{bmatrix}-2te^{2t}\2(t+1)e^{2t}\2te^{2t}\end{bmatrix} +C_3\begin{bmatrix}0\0\2e^t\end{bmatrix}

c'est-à-dire

x = C_{1} (2 e^{t} - 2 t e^{2 t}) + C_{2} (- 2 t e^{2 t}) y = C_{1} (- 2 e^{t} + 2 (t + 1) e^{2 t}) + C_{2} (2 (t + 1) e^{2 t}) z = (C_{1} + C_{2}) (2 t e^{2 t}) + 2 C_{3} e^{t}

Exemple (équation non-homogène, variation de la constante)

Pour une équation non-homogène, on peut utiliser une méthode semblable à la variation de la constante.

Nous cherchons une solution de la forme y_p(t)=exp(tA)z(t) :

y_{p}^{'} = (e^{t A})^{'} z (t) + e^{t A} z^{'} (t)

= A e^{t A} z (t) + e^{t A} z^{'} (t)

= A y_{p} (t) + e^{t A} z^{'} (t)

Avec y_p comme solution :

e^{t A} z^{'} (t) = b (t)

z^{'} (t) = (e^{t A})^{- 1} b (t)

z (t) = \int_{0}^{t} e^{- u A} b (u) d u + c

Alors,

y_{p} = e^{t A} \int_{0}^{t} e^{- u A} b (u) d u + e^{t A} c

= \int_{0}^{t} e^{(t - u) A} b (u) d u + e^{t A} c

où c dépend des conditions initiales.

Exemple (non-homogène)

Supposons que nous ayons

x^{'} = 2 x - y + z + e^{2 t} y^{'} = 3 y - 1 z z^{'} = 2 x + y + 3 z + e^{2 t}

Nous avons donc

M = [2 - 1 103 - 12 13]

\mathbf{b}=e^{2t}\begin{bmatrix}1 \0\1\end{bmatrix}

Comme auparavant, la somme de la solution homogène et de la solution particulière donne la solution générale. La solution homogène étant connue, il suffit de trouver la solution particulière.

\mathbf{y}_p = e^{t}\int_0^t e^{(-u)A}\begin{bmatrix}e^{2u} \0\e^{2u}\end{bmatrix}\,du+e^{tA}\mathbf{c}

\mathbf{y}_p = e^{t}\int_0^t \begin{bmatrix} 2e^u - 2ue^{2u} & -2ue^{2u} & 0 \ \ -2e^u + 2(u+1)e^{2u} & 2(u+1)e^{2u} & 0 \ \ 2ue^{2u} & 2ue^{2u} & 2e^u\end{bmatrix}\begin{bmatrix}e^{2u} \0\e^{2u}\end{bmatrix}\,du+e^{tA}\mathbf{c}

y_{p} = e^{t} \int_{0}^{t} [e^{2 u} (2 e^{u} - 2 u e^{2 u}) e^{2 u} (- 2 e^{u} + 2 (1 + u) e^{2 u}) 2 e^{3 u} + 2 u e^{4 u}] d u + e^{t A} c

$\mathbf{y}_p = e^{t}\begin{bmatrix} -{1 \over 24}e^{3t}(3e^t(4t-1)-16) \ \ {1 \over 24}e^{3t}(3e^t(4t+4)-16) \ \ {1 \over 24}e^{3t}(3e^t(4t-1)-16)\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 2e^t - 2te^{2t} & -2te^{2t} & 0 \ \ -2e^t + 2(t+1)e^{2t} & 2(t+1)e^{2t} & 0 \ \ 2te^{2t} & 2te^{2t} & 2e^t\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c_1 \c_2 \c_3\end{bmatrix}$ ,

expression qui peut être simplifiée pour obtenir la solution particulière cherchée.

Bibliographie

Roger A. Horn et Charles R. Johnson, Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1991. ISBN 0-521-46713-6.