Filtre (mathématiques)

La théorie des filtres a été inventée, en 1937, par Henri Cartan et utilisée par Nicolas Bourbaki dans le Livre III : Topologie générale de ses Éléments de mathématique.

Les filtres ont connu la gloire avec la démonstration du théorème de Tychonov dont ils sont la clef.

En mathématiques, la notion de limite est au cœur de nombreux phénomènes et donne lieu à une théorie appelée topologie. Quand on écrit ${\lim }_{n\to +\infty }{x}_n=L$, distinguons deux phénomènes. Le lieu où on calcule la limite, ici, c'est en $+\infty$, et la limite elle-même, ici c'est L. Souvent, on traite les deux problèmes de façon symétrique, en utilisant les voisinages. La définition la plus générale possible se fait dans un espace topologique. On peut en donner une version simplifiée dans un espace métrique.

Toutefois, le concept de voisinage se révèle assez vite insuffisant en analyse, même à un niveau très élémentaire. Comment conceptualiser les limites à droites et à gauche par exemple ? On se rend compte sur cet exemple que ce n'est pas tant la limite elle-même que le lieu où on calcule cette limite qui pose problème. Une façon élégante de s'en sortir est d'utiliser un filtre (ou une base de filtre, ce qui est équivalent mais un peu plus souple). La notion de filtre est très générale, elle unifie tous les différents types de limite que l'on rencontre.

Une alternative aux filtres consiste à généraliser le concept de limite d'une suite en utilisant un ensemble ordonné filtrant. Cette alternative (connue sous le nom de convergence des suites généralisées ou de Moore-Smith (en) ) est désormais obsolète et inutile en analyse. Toutefois, on l'utilise dans d'autres domaines. En algèbre, par exemple, elle permet de définir les limites inductives et les limites projectives.

L'intérêt des filtres est de définir la convergence sans avoir besoin de suite ou de fonction.

Soit E un ensemble, on appelle filtre sur E toute partie $\mathcal{F}$ de $\mathcal{P}(E)$ (ensemble des parties de E) tel que :

(1) $\mathcal{F}$ est non vide.

(2) $\mathcal{F}$ ne contient pas l'ensemble vide.

(3) Toute partie de E contenant un élément de $\mathcal{F}$ est elle-même un élément de $\mathcal{F}$.

(4) Pour tout couple (A,B) de parties de E, si A et B sont dans $\mathcal{F}$, $A\cap B$ est dans $\mathcal{F}$.

• Soit E un ensemble et x un élément de E. L'ensemble

est un filtre, qu'on dit être un filtre principal en vertu de sa grande simplicité.

• Soit E un espace topologique et x un élément de E. L'ensemble $\mathcal{V}(x)$ de tous les voisinages de x est un filtre sur E appelé filtre des voisinages de x.

Dans le cas particulier où la topologie de E est discrète, on retombe sur un filtre principal puisque pour la topologie discrète, une partie de E est un voisinage de x ssi elle contient x.

• $\mathcal{P}(E)$ n'est pas un filtre sur E car il contient l'ensemble vide.

• Le filtre de Fréchet sur un ensemble infini E est l'ensemble des parties de E ayant un complémentaire fini dans E

Soit E un ensemble et $\mathcal{B}$ un sous-ensemble de $\mathcal{P}(E)$. On dit que $\mathcal{B}$ est une base de filtre ssi l'ensemble $\mathcal{F}=\{A\in \mathcal{P}(E)\mid \exists B\in \mathcal{B},B\subset A\}$ est un filtre. On dit alors que $\mathcal{B}$ est une base du filtre $\mathcal{F}$ ou encore que $\mathcal{F}$ est le filtre engendré par $\mathcal{B}$.

Pour que $\mathcal{B}$ soit une base de filtre, il faut et il suffit que les trois conditions suivantes soient réalisées :

• $\mathcal{B}\ne \varnothing$
• $\varnothing \notin \mathcal{B}$
• $\forall (A,B)\in {\mathcal{B}}^2,\exists C\in \mathcal{B},C\subset A\cap B$

• {{x}} est une base du filtre principal ${\mathcal{F}}_x$
• Soit E un espace topologique et x un élément de E. Une base de voisinages de x est une base du filtre des voisinages de x. On dit aussi système fondamental de voisinages.
• $\{[-r,r]\mid r>0\}$ est une base du filtre des voisinages de 0 dans $\mathbb{R}$; $\{]-r,r[\mid r>0\}$ en est une autre ; $\{]-\frac{1}{n},\frac{1}{n}[\mid n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$ en est encore une autre (cette dernière a l'avantage d'être dénombrable).
• Plus généralement, soit E un espace métrique et x un point de E, l'ensemble des boules ouvertes ou fermées) de centre x et de rayon r>0 est une base du filtre des voisinages de x.
• Dans $\mathbb{R}$, $\{[-r,0[\cup ]0,r]\mid r>0\}$ est une base du filtre des voisinages épointés de 0, permettant de définir la limite épointée (ou limite par valeurs différentes) d'une fonction en 0.
• Dans $\mathbb{R}$, $\{]0,r]\mid r>0\}$ est une base du filtre des voisinages à droite de 0 (épointés), permettant de définir la limite à droite en 0 (ou limite par valeurs strictement supérieures).
• Dans $\mathbb{N}$, $\{[n,+\infty [\mid n\in \mathbb{N}\}$ est une base du filtre de Fréchet, permettant de définir la limite d'une suite.

Soit E un ensemble, soit $\mathcal{F}$ et ${\mathcal{F}}^{\prime }$ deux filtres, on dit que ${\mathcal{F}}^{\prime }$ est plus fin que $\mathcal{F}$ si et seulement si $\mathcal{F}\subset {\mathcal{F}}^{\prime }$.

Un ultrafiltre est un filtre maximal pour l'inclusion. En d'autres termes, $\mathcal{F}$ est un ultrafiltre si et seulement si pour tout filtre ${\mathcal{F}}^{\prime }$ plus fin que $\mathcal{F}$, on a $\mathcal{F}={\mathcal{F}}^{\prime }$.

Les filtres principaux sont des ultrafiltres (souvent aussi appelés ultrafiltres triviaux).

Tout filtre est inclus dans un ultrafiltre, Autrement dit, pour tout filtre $\mathcal{F}$, il existe un ultrafiltre ${\mathcal{F}}^{\prime }$ plus fin que $\mathcal{F}$. C'est une conséquence classique de l'axiome du choix ou de son équivalent le lemme de Zorn ; mais, réciproquement, l'axiome du choix s'avère nécessaire pour pouvoir construire des ultrafiltres non principaux (il y a des modèles de ZF dans lesquels il n'en existe pas sur les entiers, par exemple).

Soient E un espace topologique et x un élément de E. On dit que

• un filtre sur E converge vers x s'il est plus fin que le filtre des voisinages de x.
• une base de filtre sur E converge vers x si le filtre qu'elle engendre converge vers x.
• x est adhérent à un filtre $\mathcal{F}$ (sur E) si tout voisinage V de x et tout élément F de $\mathcal{F}$ vérifient $V\cap F\ne \varnothing$. Autrement dit il existe un filtre ${\mathcal{F}}^{\prime }$ qui contient à la fois $\mathcal{F}$ et $\mathcal{V}(x)$ ou encore il existe un filtre ${\mathcal{F}}^{\prime }$ plus fin que $\mathcal{F}$ qui converge vers x.

L'ensemble des points adhérents à un filtre $\mathcal{F}$ est un fermé : c'est ${\cap }_{F\in \mathcal{F}}\overline{F}$.

Si un filtre $\mathcal{F}$ converge vers x alors x est adhérent à $\mathcal{F}$. La réciproque est vraie si $\mathcal{F}$ est un ultrafiltre.

Si E est un espace séparé et que $\mathcal{F}$ converge à la fois vers x et vers y alors x = y.

Soit E et F deux ensembles, f une fonction de E dans F et $\mathcal{F}$ un filtre sur E. Le filtre image de $\mathcal{F}$ par f est par définition l'ensemble des parties de F dont l'image réciproque par f appartient au filtre $\mathcal{F}$. Une base de ce filtre est l'ensemble $f(\mathcal{F})$ des images directes des éléments de $\mathcal{F}$.

Lorsque que F est un espace topologique et y un élément de F, on dit que f converge vers y suivant $\mathcal{F}$ si $f(\mathcal{F})$ converge vers y.

Les filtres permettent une caractérisation simple des espaces topologiques compacts.

Un espace topologique séparé E est compact ssi tout filtre de E admet un point adhérent, ou encore ssi tout ultrafiltre de E converge.

Cette façon de voir les choses permet de démontrer élégamment le théorème de Tychonov.

Dans un espace uniforme, on peut définir d'une part la notion de filtre de Cauchy et d'autre part la topologie associée à la structure uniforme. On dit alors que l'espace est complet si tout filtre de Cauchy converge.