Opérateur différentiel

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Introduction

Un opérateur différentiel est un opérateur agissant sur des fonctions différentiables.

Lorsque la fonction est à une seule variable, l'opérateur différentiel est construit à partir des dérivées ordinaires.
Lorsque la fonction est à plusieurs variables, l'opérateur différentiel est construit à partir des dérivées partielles.

Notations

Soit Ω un ouvert de $R^{n}$ , et x un point de Ω. On introduit les n coordonnées x_k (k = 1,...,n). Supposons que l'on ait une fonction des n variables : x_k.

Dérivées du premier ordre

Pour simplifier les écritures, on note usuellement la dérivée partielle première par rapport à la coordonnée x_k par le symbole :

\partial_{k} = \frac{\partial}{\partial x _{k}}

On est également amené à introduire l'opérateur différentiel D_k du premier ordre défini par :

D_{k} = - i \partial_{k} = - i \frac{\partial}{\partial x _{k}}

Dans cette définition, i est la « racine de l'unité » complexe : i = − 1. L'intérêt de définir cet opérateur D_k apparaitra plus tard, en relation avec la transformée de Fourier.

On utilise les notations sous forme de multi-indices : un multi-indice α est un n-uplet d'entiers

α = (α_{1}, \dots, α_{n}); α_{k} \in N

Sa longueur | α | est définie comme la somme des α_i et on définit enfin la multi-factorielle :

α! = k = 1 \prod n (α_{k}!) = α_{1}! \times \dots \times α_{n}!

Dérivées d'ordres plus élevés

La dérivée partielle d'ordre α_k par rapport à la coordonnée x_k correspond au symbole :

\partial_{k}^{α_{k}}

On définit alors les dérivées partielles, d'ordre global | α | :

\partial^{α} = \partial_{1}^{α_{1}} \dots \partial_{n}^{α_{n}}

Et les opérateurs différentiels D, d'ordre global | α | :

D^{α} = D_{1}^{α_{1}} \dots D_{n}^{α_{n}}

Définition d'un opérateur différentiel

Définition

Un opérateur différentiel linéaire d'ordre m est défini par :

D = ∣ α ∣ = 0 \sum m a_{α} (x) D^{α}

où les a_α(x) sont des fonctions de n variables, appelées coefficents de l'opérateur $D$ .

Propriété de localité

Un opérateur différentiel $D$ est local au sens où, pour déterminer ses effets $D f (x)$ sur une fonction f(x) suffisamment différentiable, seule la connaissance de la fonction dans le voisinage du point x est nécessaire.

Transformée de Fourier

Introduction de la transformée de Fourier

On définit ici la transformée de Fourier de la fonction f(x) de n variables x_k (k = 1,...,n) par :

\hat{f} (ξ) = \int_{R^{n}} d x e^{- i < ξ, x >} f (x)

Dans cette définition :

on note ξ le n-uplet constitué des variables : ξ_k (k = 1,...,n).
la mesure est : $d x = \prod_{k = 1}^{n} d x_{k}$ .
le facteur $< ξ, x >$ dans l'exponentielle oscillante désigne le produit scalaire : $< ξ, x >= \sum_{k = 1}^{n} x_{k} ξ_{k}$ .

La formule de transformation inverse s'écrit alors :

f (x) = \int_{R^{n}} d \tilde{ξ} e^{+ i < ξ, x >} \hat{f} (ξ)

où la mesure est : $d \tilde{ξ} = \frac{d ξ}{( 2 π ) ^{n}}$ avec $d ξ = \prod_{k = 1}^{n} d ξ_{k}$ .

Application aux opérateurs différentiels

Appliquons l'opérateur différentiel $D_{k} = - i \partial_{k}$ à la représentation de Fourier de la fonction f(x). En supposant qu'on puisse intervertir la dérivation et l'intégration, on obtient :

D_{k} f (x) = \int_{R^{n}} d \tilde{ξ} (- i \partial_{k} e^{+ i < ξ, x >}) \hat{f} (ξ) = \int_{R^{n}} d \tilde{ξ} e^{+ i < ξ, x >} ξ_{k} \hat{f} (ξ)

qu'on peut écrire : $(D_{k} f) (ξ) = ξ_{k} \hat{f} (ξ)$ . On en déduit que :

(D^{α} f) (ξ) = ξ^{α} \hat{f} (ξ)

où : $ξ^{α} = ξ_{1}^{α_{1}} \times \dots \times ξ_{n}^{α_{n}}$ . L'opérateur différentiel $D$ d'ordre m vérifie donc la relation :

(D f) (x) = ∣ α ∣ = 0 \sum m a_{α} (x) \int_{R^{n}} d \tilde{ξ} e^{+ i < ξ, x >} ξ^{α} \hat{f} (ξ)

On peut intervertir la somme et l'intégrale pour écrire :

(D f) (x) = \int_{R^{n}} d \tilde{ξ} e^{+ i < ξ, x >} ∣ α ∣ = 0 \sum m a_{α} (x) ξ^{α} \hat{f} (ξ)

Symbole d'un opérateur différentiel

On appelle symbole de l'opérateur différentiel $D$ d'ordre m la fonction σ(x,ξ) des 2n variables (x,ξ) polynomiale en ξ de degré m :

σ (x, ξ) = ∣ α ∣ = 0 \sum m a_{α} (x) ξ^{α}

de telle sorte que :

(D f) (x) = \int_{R^{n}} d \tilde{ξ} e^{+ i < ξ, x >} σ (x, ξ) \hat{f} (ξ)

On constate que cette formule pourrait en fait permettre de définir l'opérateur $D$ à partir de son symbole σ. Cette idée sera mise à profit dans la théorie des opérateurs pseudo-différentiels.

Attention : pour un opérateur différentiel dont les coefficients a_α(x) ne sont pas constants, le symbole σ(x,ξ) dépend des coordonnées d'espace x, et l'expression $σ (x, ξ) \hat{f} (ξ)$ n'est pas la transformée de Fourier de $(D f) (x)$ , c’est-à-dire que :

(D f) (ξ) \neq = σ (x, ξ) \hat{f} (ξ)

La formule correcte de la transformée de Fourier est calculée dans le paragraphe « Cas général ».

Symbole principal d'un opérateur différentiel

On appelle symbole principal de l'opérateur différentiel $D$ d'ordre m la fonction :

σ_{m} (x, ξ) = ∣ α ∣ = m \sum a_{α} (x) ξ^{α}

Classification des opérateurs différentiels

Opérateur elliptique

L'opérateur différentiel $D$ est dit elliptique au point $x \in Ω$ si et seulement si :

\forall ξ \in R^{n} \ {0}, σ_{m} (x, ξ) \neq = 0

$D$ est dit elliptique dans Ω s'il est elliptique pour tout point $x \in Ω$ .

Opérateur hyperbolique

L'opérateur différentiel $D$ est dit hyperbolique dans la direction η au point $x \in Ω$ si et seulement si : $σ_{m} (x, η) \neq = 0$ et si, pout tout ξ non colinéaire à η, les racines λ_i de l'équation :

σ_{m} (x, ξ + λ η) = 0

sont toutes réelles. Si, de plus, les m racines réelles sont toutes distinctes, l'opérateur $D$ est dit strictement hyperbolique dans la direction η.

$D$ est dit (strictement) hyperbolique dans la direction η dans Ω s'il est strictement hyperbolique dans la direction η pour tout point $x \in Ω$ .

Exemples importants pour la physique théorique

La physique théorique fait un usage abondant de trois opérateurs d'ordre 2 :

Opérateur laplacien

L'opérateur laplacien est un opérateur elliptique, qui s'écrit :

en coordonnées cartésiennes dans $R^{n}$ :

Δ = k = 1 \sum n \frac{\partial ^{2}}{\partial x _{k}^{2}}

soit en coordonnées cartésiennes tridimensionnelles :

Δ = \frac{\partial ^{2}}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2}}{\partial y ^{2}} + \frac{\partial ^{2}}{\partial z ^{2}}

Cet opérateur est notamment utilisé en mécanique newtonienne, en électromagnétisme, et en mécanique quantique non relativiste.

Opérateur d'alembertien

L'opérateur d'alembertien est un opérateur hyperbolique, qui s'écrit en coordonnées cartésiennes (x,t) dans $R^{n + 1}$ :

□ = \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2}}{\partial t ^{2}} - Δ

où Δ est le laplacien à n variables d'espace, t est le temps, et c une constante positive, homogène à une vitesse. Cet opérateur est utilisé pour décrire la propagation des ondes à la vitesse c dans l'espace-temps. Il est notamment utilisé en acoustique, en électromagnétisme, et en théorie quantique des champs.

Opérateur de la chaleur

L'opérateur de la chaleur, qui s'écrit en coordonnées cartésiennes (x,t) dans $R^{n + 1}$ :

\frac{\partial}{\partial t} - \tilde{D} Δ

où Δ est le laplacien à n variables d'espace, t est le temps, et $\tilde{D}$ est ici une constante, appelée coefficient de diffusion. Cet opérateur est dit parabolique.

Opérateur différentiel à coefficients constants

Si les coefficients a_α sont indépendants des n variables d'espace x, le symbole de l'opérateur différentiel $D$ d'ordre m est seulement une fonction σ(ξ) des n variables ξ polynomiale en ξ :

σ (ξ) = ∣ α ∣ = 0 \sum m a_{α} ξ^{α}

de telle sorte que :

(D f) (ξ) = σ (ξ) \hat{f} (ξ)

Le symbole principal de l'opérateur différentiel $D$ d'ordre m à coefficients constants est la fonction des n variables ξ :

σ_{m} (ξ) = ∣ α ∣ = m \sum a_{α} ξ^{α}

Cas général

On a vu que plus haut :

(D f) (x) = \int_{R^{n}} d \tilde{ξ} e^{+ i < ξ, x >} σ (x, ξ) \hat{f} (ξ)

Pour un opérateur différentiel dont les coefficients a_α(x) ne sont pas constants, le symbole σ(x,ξ) dépend des coordonnées d'espace x, et on a :

(D f) (ξ) \neq = σ (x, ξ) \hat{f} (ξ)

Expression de la transformée de Fourier

Partons de la relation générale :

(D f) (x) = ∣ α ∣ = 0 \sum m a_{α} (x) \int_{R^{n}} d \tilde{ξ} e^{+ i < ξ, x >} ξ^{α} \hat{f} (ξ)

Si l'on introduit la transformée de Fourier des coefficients :

a_{α} (x) = \int_{R^{n}} d \tilde{η} e^{+ i < η, x >} \overset{a}{^}_{α} (η)

on obtient :

(D f) (x) = ∣ α ∣ = 0 \sum m \int_{R^{n}} d \tilde{η} e^{+ i < η, x >} \overset{a}{^} α (η) \times \int R^{n} d \tilde{ξ} e^{+ i < ξ, x >} ξ^{α} \hat{f} (ξ)

soit :

(D f) (x) = ∣ α ∣ = 0 \sum m \int_{R^{n}} d \tilde{η} \int_{R^{n}} d \tilde{ξ} e^{+ i < (ξ + η), x >} \overset{a}{^}_{α} (η) ξ^{α} \hat{f} (ξ)

A ξ fixé, on fait le changement de variable : $η \to t = ξ + η$ , ce qui donne :

(D f) (x) = ∣ α ∣ = 0 \sum m \int_{R^{n}} d \tilde{t} e^{+ i < t, x >} \int_{R^{n}} d \tilde{ξ} \overset{a}{^}_{α} (t - ξ) ξ^{α} \hat{f} (ξ)

On reconnait le produit de convolution :

(\overset{a}{^} α * ξ^{α} \hat{f}) (t) = \int R^{n} d \tilde{ξ} \overset{a}{^}_{α} (t - ξ) ξ^{α} \hat{f} (ξ)

d'où :

(D f) (x) = ∣ α ∣ = 0 \sum m \int_{R^{n}} d \tilde{t} e^{+ i < t, x >} (\overset{a}{^}_{α} * ξ^{α} \hat{f}) (t)

qu'on peut réécrire :

(D f) (ξ) = ∣ α ∣ = 0 \sum m (\overset{a}{^}_{α} * ξ^{α} \hat{f}) (ξ)