Polygone de Pétrie

Un polygone de Pétrie est donné par la projection othogonale d'un polyèdre (ou même d'un polytope au sens général) sur un plan, de sorte à former un polygone régulier, avec tout le reste de la projection à l'interieur. Ces polygones et graphes projetés sont utiles pour visualiser la structure et les symétries de polytopes aux nombreuses dimensions.

Chaque paire de côtés consécutifs appartient à une même face du polyèdre, mais pas trois. Cette définition s'étend aux polytopes de dimensions supérieures : chaque groupe de n-1 côtés consécutifs appartient à une même hyperface du polytope, mais pas n.

Le polygone de Pétrie d'un polygone régulier est lui-même, car il est déjà dans le plan de projection.

John Flinders Petrie était le seul fils de Sir William Matthew Flinders Petrie, le grand égyptologue. Il est né en 1907, et montra à l'école de remarquables aptitudes en mathématiques. En se concentrant il pouvait répondre aux questions sur des objets quadridimensionnels en les visualisant dans sa tête.

Il fut le premier à réaliser l'importance des polygones visibles seulement sous un certain angle par transparence, et dont les sommets n'étaient pas coplanaires, sur la surface des polyèdres et des polytopes des dimensions au dessus. Il fut un grand ami de Coxeter, qui nomma ces polygones en son honneur. L'idée des polygones de Petrie a été étendue bien plus tard aux polytopes semi-réguliers.

En 1972, quelques mois après sa retraite, Petrie a été tué par une voiture alors qu'il essayait de traverser une grande route à côté de sa maison dans le Surrey.

Il y a 5 polyèdres réguliers (voir solide de Platon). Le polygone de Pétrie d'un polyèdre régulier {p,q} (voir symbole de Schläfli) possède h côtés, où :

Les polyèdres duaux (voir dualité), {p,q} et {q,p}, sont donc contenus par les mêmes polygones de Pétrie.

tétraèdre	cube	octaèdre	dodécaèdre	icosaèdre
centré sur une arête	centré sur un sommet	centré sur une face	centré sur une face	centré sur un sommet
4 côtés	6 côtés	6 côtés	10 côtés	10 côtés
V:(4,0)	V:(6,2)	V:(6,0)	V:(10,10,0)	V:(10,2)

Les polygones de Pétrie sont les bords (en rouge) de ces projections orthogonales. Les lignes bleues représentent les arêtes de devant, et les lignes noires les arêtes de derrière.

Les sommets, qui sont sur des cercles concentriques, sont comptés par "couches" à partir de l'extérieur jusqu'à l'intérieur, par la notation du polygone de Pétrie : V:(a,b,...) avec un 0 à la fin si la couche centrale est vide.

Les polygones de Pétrie pour les polychores réguliers (voir 4-polytope régulier convexe) {p,q,r} (voir symbole de Schläfli) peuvent également être déterminés.

Les polychores duaux (voir dualité), {p,p,q} et {p,q,q}, sont contenus par les mêmes polygones de Pétrie.

{3,3,3} pentachore (4-simplexe) 5 côtés V:(5,0)	{3,3,4} hexadécachore (4-hyperoctaèdre) 8 côtés V:(8,0)	{4,3,3} tesseract (4-hypercube) 8 côtés V:(8,8,0)
{3,4,3} 24-cellules 12 côtés V:(12,6,6,0)	{5,3,3} 120-cellules 30 côtés V(30,60),60,30,60,0)	{3,3,5} 600-cellules 30 côtés V:(30,30,30,30,0)

Ensuite, comme l'a démontré Ludwig Schläfli, il n'y a pas plus de 3 polytopes réguliers par dimension, et cela dès la cinquième. Ces trois n-polytopes réguliers appartiennent respectivement à 3 grandes familles de polytopes : les n-simplexes, les hyperoctaèdres, et les hypercubes.

Le polygone de Pétrie pour un polytope régulier {p, q ,r ,..., w} peut aussi être déterminé.

La famille des simplexes

Dans la famille des simplexes, tout n-simplexe est projeté dans un polygone à n+1 côtés, avec les sommets à la périphérie.

Pour un simplexe, toutes les diagonales du polygone de Pétrie sont tracées.

Les simplexes sont des polytopes auto-duaux : chaque simplexe est son propre dual, car la permutation des 3 de sa notation de Schläfli {3,3,3,...,3} est invariante.

n = 1 {} segment 1-simplexe 2 côtés (le segment est alors considéré en tant que digone) V:(2,0)	n = 2 {3} triangle 2-simplexe 3 côtés V:(3,0)	n = 3 {3,3} tétraèdre 3-simplexe 4 côtés V:(4,0)	n = 4 {3} Pentachore 4-simplexe 5 côtés V:(5,0)	n = 5 {3} 5-simplexe 6 côtés V:(6,0)
n = 6 {3} 6-simplexe 7 côtés V:(7,0)	n = 7 {3} 7-simplexe 8 côtés V:(8,0)	n = 8 {3} 8-simplexe 9 côtés V:(9,0)	n = 9 {3} 9-simplexe 10 côtés V:(10,0)	n = 10 {3} 10-simplexe 11 côtés V:(11,0)

La famille des hypercubes

Dans la famille des hypercubes, tout n-hypercube est projeté dans un polygone à 2n côtés.

Les duaux respectifs des hypercubes {4,3,3,3,...,3} sont les hyperoctaèdres {3,3,3,...,3,4}.

n = 1 {} segment (digone) 2 côtés V:(2,0)	n=2 {4} carré 4 côtés V:(4,0)	n = 3 {4,3} cube 6 côtés V:(6,2)	n = 4 {4,3} tesseract 8 côtés V:(8,8,0)	n = 5 {4,3} penteract 10 côtés V:(10,10,10,2)
n = 6 {4,3} hexéract 12 côtés	n = 7 {4,3 heptéract 14 côtés	n = 8 {4,3} octéract 16 côtés	n = 9 {4,3} ennéract 18 côtés	n = 10 {4,3} décaract 20 côtés

La famille des hyperoctaèdres

Dans la famille des hyperoctaèdres, tout n-octaèdre est projeté dans un polygone de Pétrie à 2n côtés.

Les duaux respectifs des hyperoctaèdres {3,3,3,...,3,4} sont les hypercubes {4,3,3,3,...,3}.

n = 1 {} 2 côtés V:(2,0)	n = 2 {4} carré 4 côtés V:(4,0)	n = 3 {3,4} octaèdre 6 côtés V:(6,0)	n = 4 {3,4} 16-cellules 8 côtés V:(8,0)	n = 5 {3,4} penta-croisé 10 côtés V:(10,0)
n = 6 {3,4} hexa-croisé 12 côtés V:(12,0)	n = 7 {3,4} hepta-croisé 14 côtés V:(14,0)	n = 8 {3,4} octa-croisé 16 côtés V:(16,0)	n = 9 {3,4} ennéa-croisé 18 côtés V:(18,0)	n = 10 {3,4} déca-croisé 20 côtés V:(20,0)