Polynôme d'Alexander

En mathématiques, et plus précisément en théorie des nœuds, le polynôme d'Alexander est un invariant (topologique) qui associe un polynôme à coefficients entiers à chaque type de nœud. C'est le premier polynôme de nœud découvert ; il l'a été par James Waddell Alexander II, en 1923. En 1969, John Conway en montra une version, appelée à présent le polynôme d'Alexander-Conway, pouvant être calculé à l'aide d'une « relation d'écheveau » (skein relation), mais l'importance n'en fut pas comprise avant la découverte du polynôme de Jones en 1984.

La définition formelle suivante nécessite des connaissances importantes en homologie ; il est cependant possible, comme on le verra au paragraphe suivant, de calculer sans elles le polynôme d'Alexander en pratique, ce qui pourrait en constituer une définition opérationnelle, mais on ne peut alors comprendre la raison profonde de l'intérêt de ce calcul, ni les propriétés du polynôme.

Soit K un nœud de la 3-sphère. Soit X le recouvrement cyclique infini du complémentaire du nœud K. Il y a une transformation couvrante t agissant sur X. Soit alors H₁(X) le premier groupe d'homologie (à coefficients entiers) de X. La transformation t agit sur ce groupe, et nous pouvons donc considérer H₁(X) comme un module sur $\mathbb{Z}[t,t^{-1}]$, appelé invariant d'Alexander ou module d'Alexander.

Ce module est de présentation finie ; une matrice de présentation de ce module s'appelle une matrice d'Alexander. Si le nombre de générateurs, r, est inférieur ou égal au nombre de relations, s, alors l'idéal engendré par tous les r l'est par r mineurs de la matrice ; c'est l'idéal d'Alexander, et il ne dépend pas du choix de la matrice de présentation.

Si r > s, on prend l'idéal nul. Si l'idéal d'Alexander est principal, un de ses générateurs est appelé polynôme d'Alexander du nœud. Ce polynôme n'étant défini qu'à une multiplication près, par le monôme de Laurent $\pm t^n$, on fixe en général une forme unique. Ainsi, le choix de normalisation d'Alexander consiste à donner au polynôme un terme constant strictement positif.

Alexander démontra que l'idéal d'Alexander est en fait toujours principal et non nul. Ainsi, le polynôme d'Alexander existe toujours, et est clairement un invariant (topologique) de nœud, que l'on note Δ_K(t).

La procédure de calcul suivante est celle qui fut donnée par Alexander dans sa publication originale.

Considérons un diagramme orienté du nœud avec n croisements ; le diagramme partage le plan en n + 2 régions (c'est une conséquence facile de la relation d'Euler). Pour déterminer le polynôme d'Alexander, on construit d'abord une matrice d'incidence de taille (n, n + 2). Les n rangées correspondent aux n croisements, et les n + 2 colonnes aux régions. Considérons l'entrée correspondant à une région et à un croisement particulier. Si la région n'est pas adjacente au croisement, cette entrée vaut 0. Sinon, la table suivante donne la valeur de l'entrée compte tenu de la position de la région vue du point de vue de la ligne entrante passant par dessous l'autre :

à gauche avant le croisement : −t

à droite avant le croisement : 1

à gauche après le croisement : t

à droite après le croisement : −1

En supprimant alors de la matrice deux colonnes correspondant à des régions adjacentes, on obtient une nouvelle matrice d'ordre n ; son déterminant (à un facteur $\pm t^n$ près) est le polynôme d'Alexander (la forme normalisée est obtenue en choisissant ce facteur de telle sorte que le terme constant du polynôme soit non nul et positif).

Le polynôme d'Alexander est symétrique : Δ_K(t ) = Δ_K(t).

Du point de vue de la définition formelle, ceci exprime l'isomorphisme de la dualité de Poincaré : $\overline{H_{1}X}\simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}[t,t^{-1}]}(H_{1}X,G)$, où G est le quotient par $\mathbb{Z}[t,t^{-1}]$ du corps des fractions de $\mathbb{Z}[t,t^{-1}]$ , considéré comme un $\mathbb{Z}[t,t^{-1}]$-module, et où $\overline{H_{1}X}$ est le $\mathbb{Z}[t,t^{-1}]$-module conjugué de H₁X ; en tant que groupe abélien, il est identique à H₁X, mais la transformation couvrante t agit par t .

Le polynôme d'Alexander vaut 1 ou -1 pour t = 1.

Ceci exprime le fait que le complémentaire du nœud est homologue à un cercle, engendré par la transformation couvrante t. Plus généralement, si M est une variété de dimension 3 telle que ran**k(H₁M) = 1, elle possède un polynôme d'Alexander Δ_M(t) défini comme un idéal de son recouvrement, et alors Δ_M(1) est égal à l'ordre du sous-groupe de torsion de H₁M.

Réciproquement, tout polynôme de Laurent (à coefficients entiers), symétrique et valant $\pm 1$ en 1 est le polynôme d'Alexander d'un certain nœud (Kawauchi 1996).

Comme l'idéal d'Alexander est principal, Δ_K(t) = 1 si et seulement si le sous-groupe des commutateurs du groupe du nœud (le groupe fondamental du complémentaire du nœud dans R) est parfait (égal à son propre sous-groupe de commutateurs). C'est évidemment en particulier le cas du nœud trivial (le cercle), mais ce résultat montre que le calcul du polynôme d'Alexander ne suffit pas pour montrer qu'un nœud est trivial en général.

Pour un nœud tranche, c'est-à-dire un nœud de la 3-sphère qui borne un disque "localement plat" de la 4-boule, le polynôme d'Alexander satisfait la condition de Fox-Milnor Δ_K(t) = f(t)f(t ), où f(t) est un autre polynôme de Laurent (à coefficients entiers).

Réciproquement, Michael Freedman a démontré que si le polynôme d'Alexander d'un nœud est trivial, ce nœud est un nœud tranche (Freedman et Quinn, 1990).

Le degré du polynôme d'Alexander est supérieur ou égal au double du genre du nœud.

Il y a d'autres relations avec les surfaces et la topologie (différentielle) en dimension 4. Par exemple, sous certaines hypothèses, il y a moyen de modifier une variété différentielle de dimension 4 par un acte chirurgical consistant à retirer un voisinage d'un tore (à deux dimensions) et à le remplacer par le produit du complémentaire d'un nœud et deS. Le résultat est une variété homéomorphe à la variété initiale, mais dont l'invariant de Seiberg-Witten a été multiplié par le polynôme d'Alexander du nœud.

Le fait qu'un nœud présente une symétrie se traduit en général par des propriétés particulières de son polynôme d'Alexander. Cependant, celui-ci ne permet pas de les détecter toutes ; c'est le cas de l'invertibilité forte.

Si le complémentaire du nœud est un fibré à base circulaire, on peut montrer que le polynôme d'Alexander est monique (les termes de plus haut et plus bas degré valent $\pm 1$). En fait, si $S\to C_K\to S^1$ est un fibré, où C_K est le complémentaire du nœud ; notons $g:S\to S$ la monodromie. Alors Δ_K(t) = Det(t**I − g _* ), où $g_{\ast }:H_{1}S\to H_{1}S$ est l'application induite sur les classes d'homologie.

Si un nœud K est un nœud satellite de compagnon K', c'est-à-dire s'il existe un plongement $f:S^1\times D^2\to S^3$ tel que K = f(K'), où $S^1\times D^2\subset S^3$ est un tore plein non noué, alors ${\Delta }_K(t)={\Delta }_{f(S^1\times \{0\})}(t){\Delta }_{K^{\prime }}(t^a)$, où $a\in \mathbb{Z}$est l'entier représentant $K^{\prime }\subset S^1\times D^2$ dans $H_1(S^1\times D^2)=\mathbb{Z}$.

Par exemple, pour une somme jointe ${\Delta }_{K_1\#K_2}(t)={\Delta }_{K_1}(t){\Delta }_{K_2}(t)$. Si K est une paire de Whitehead sans torsion, alors ${\Delta }_K(t)=\pm 1$.

Alexander avait démontré que le polynôme d'Alexander satisfait une relation d'écheveau. Cela fut redécouvert par John Conway sous une forme différente, montrant que cette relation, et un choix convenable de valeurs sur le transformé (dénoué) suffit à déterminer le polynôme. Le résultat de la version de Conway est un polynôme en z à coefficients entiers, noté $\nabla (z)$ et appelé le polynôme d'Alexander-Conway.

Soit L un diagramme orienté d'un nœud ; on note $L_{+},L_{-},L_0$ les diagrammes résultant d'un changement limité à une petite région autour d'un croisement spécifié, comme indiqué sur la figure.

Les relations d'écheveau (skein relations) de Conway sont les suivantes :

• $\nabla (O)=1$ (où O est n'importe quel diagramme non noué)
• $\nabla (L_{+})-\nabla (L_{-})=z\nabla (L_0)$

La relation avec le polynôme d'Alexander standard est donnée par ${\Delta }_L(t^2)={\nabla }_L(t-t^{-1})$. Ici, Δ_L doit être convenablement normalisé (par multiplication par $\pm t^{n/2}$) pour satisfaire la relation d'écheveau Δ(L ₊ ) − Δ(L ₋ ) = (t − t )Δ(L₀). Il faut remarquer que cette relation donne un polynôme de Laurent en t .

Peu de temps après que Conway ait montré ces relations, on se rendit compte qu'une relation similaire avait été décrite par Alexander dans sa publication originale.