Processus de Galton-Watson

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Introduction

Le processus de Galton-Watson est un processus stochastique permettant de décrire des dynamiques de populations.

Historique

À l'origine, ce modèle a été introduit par Sir Francis Galton en 1873 en vue d'étudier la statistique des patronymes dans l'Angleterre victorienne. Supposons que chaque adulte mâle transmette son patronyme à chacun de ses enfants. Supposons également que le nombre d'enfants de chaque homme soit une variable aléatoire entière (et que la distribution de probabilité soit la même pour tous les hommes dans une lignée). Alors, un patronyme dont les porteurs ont un nombre d'enfant strictement inférieur à 1 en moyenne est amené à disparaître. Inversement, si le nombre moyen d'enfants est supérieur à 1, alors la probabilité de survie de ce nom est non-nulle et en cas de survie, le nombre de porteurs du patronyme connait une croissance exponentielle.

Formulation générale

On suppose l'existence d'une population d'individus qui se reproduisent de manière indépendante. Chaque individu i donne naissance à $\scriptstyle\ X_i\$ individus et meurt. On suppose que les $\scriptstyle\ X_i\$ sont des variables aléatoires indépendantes à valeurs entières suivant la distribution Par exemple,

si, avec probabilité $\scriptstyle\ p_0=\mathbb{P}(X_i=0),\$ $\scriptstyle\ X_i=0,\$ alors l'individu i meurt sans se reproduire ;
si, avec probabilité $\scriptstyle\ p_1=\mathbb{P}(X_i=1),\$ $\scriptstyle\ X_i=1,\$ alors il y a un remplacement un-pour-un de l'individu i ;
etc ...

Notation — La fonction génératrice $\scriptstyle\ \varphi,\$ associée à la distribution de probabilité $\scriptstyle\ p=\left(p_k\right)_{k\in\mathbb{N}},\$ définie par :

φ (s) = n \geq 0 \sum p_{n} s^{n} = E [s^{X_{i}}],

est d'une importance particulière dans la discussion des résultats essentiels sur les processus de Galton-Watson.

Paramètre critique et classification des processus de Galton-Watson

Notons $\scriptstyle\ Z_n\$ la taille de la population à la n-ème génération. On suppose souvent que la population possède un seul ancêtre, ce qui se traduit par

Z₀ = 1.

Le nombre

m = k \sum k p_{k} = φ^{'} (1)

désigne le nombre moyen d'enfants d'un individu typique de la population considérée. L'évolution de la taille moyenne de la population est gouvernée par la formule de récurrence suivante :

E [Z_{n + 1}] = m E [Z_{n}],

elle-même conséquence de la formule de Wald, d'où il résulte que

E [Z_{n}] = m^{n} .

Définition — Si, à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite $\scriptstyle\ \left(Z_{n}\right)_{n\ge 0}\$ sont nuls, on dit qu'il y a extinction de la population.

Classification des processus de Galton-Watson — Il existe deux régimes séparés par une valeur critique du paramètre $\scriptstyle\ m\$ :

Si $\scriptstyle\ m<1,\$ le processus de Galton-Watson est dit sous-critique. L'extinction de la population se produit avec probabilité 1 ;
Si $\scriptstyle\ m>1,\$ le processus de Galton-Watson est dit sur-critique. Alors la probabilité de survie de ce nom est non-nulle (la probabilité d'extinction est inférieure strictement à 1). En cas de survie, le nombre de porteurs du patronyme connait une croissance exponentielle.
Si $\scriptstyle\ m=1,\$ alors le processus de Galton-Watson est dit critique. Son comportement est plus complexe et sera discuté dans la suite.

Notation de Neveu

Une notation due à Neveu permet de décrire rigoureusement l'évolution de la population à l'aide d'un arbre planaire enraciné, qui est en fait l'arbre généalogique de cette population. Cet arbre planaire enraciné peut être décrit de manière non ambigüe par la liste de ses sommets, chacun désigné par une suite finie d'entiers, qui sont les positions, au sein de leur fratrie, des ancêtres (ou ascendants) de ce sommet : le sommet 2|4|3 désigne le 3ème fils du 4ème fils du 2ème fils de l'ancêtre (l'ancêtre étant lui-même désigné par la suite vide, notée $\scriptstyle\emptyset\$ ). Par convention, l'ancêtre est le sommet initial de l'arête racine, et le sommet final de l'arête racine est le fils ainé de l'ancêtre : en tant que tel, il est donc noté 1. La longueur de la suite associée à un sommet est la hauteur (ou la profondeur) du sommet, i.e. la distance entre ce sommet et le début de la racine, qui représente l'ancêtre : en filant la métaphore, un sommet de hauteur n représente un individu appartenant à la n-ème génération de la population fondée par l'ancêtre. Les 5 arbres à 3 arêtes :

sont ainsi décrits par les 5 ensembles de mots

{\emptyset, 1, 2, 3}, {\emptyset, 1, 11, 2}, {\emptyset, 1, 2, 21}, {\emptyset, 1, 11, 12}, {\emptyset, 1, 11, 111} .

Avec cette notation, un arbre planaire encode commodément une réalisation de processus de Galton-Watson avec extinction. Rien ne s'oppose à définir un arbre planaire infini à l'aide de la notation de Neveu, ce qui permet d'encoder les réalisations de processus de Galton-Watson où la population ne s'éteint pas.

Notation de Neveu pour les sommets d'un arbre planaire.

Exemple :

L'arbre de la figure ci-contre correspond à une suite de variables aléatoires $\scriptstyle\ X_i,\$ ainsi définies :

(X_{\emptyset}, X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{11}, X_{12}, X_{111}, X_{121}, X_{122}, \dots) = (3, 2, 0, 0, 1, 2, 1, 0, 1, \dots) .

Ainsi, un processus de Galton-Watson peut-être vu comme une fonctionnelle déterministe d'une famille $\scriptstyle\ \left(X_i\right)_{i\in\mathbb{N}^{\star}}\$ de variables aléatoires indépendantes et de même loi $\scriptstyle\ p=\left(p_k\right)_{k\in\mathbb{N}},\$ la variable $\scriptstyle\ X_i\$ désignant la progéniture de l'individu i (le nombre d'enfants auxquels ils donne naissance en mourant). Ici $\scriptstyle\ \mathbb{N}^{\star}\$ désigne l'ensemble (dénombrable) des suites d'entiers de longueurs finies (éventuellement de longueur nulle dans le cas de $\scriptstyle\ \emptyset\$ ) :

N^{⋆} = {\emptyset} \cup N \cup N^{2} \cup N^{3} \cup \dots

Exemple :

Certaines variables aléatoires de la suite $\scriptstyle\ \left(X_i\right)_{i\in\mathbb{N}^{\star}}\$ n'ont pas d'influence sur le processus de Galton-Watson : dans l'exemple ci-contre, $\scriptstyle\ X_4\$ ou $\scriptstyle\ X_{126}\$ n'ont pas d'importance car l'ancêtre a strictement moins de 4 enfants ( $\scriptstyle\ X_\emptyset=3\$ ) et l'individu 12 a strictement moins de 6 enfants ( $\scriptstyle\ X_{12}=2\$ ). De même les progénitures des individus de la 5ème génération (les $\scriptstyle\ X_i\$ correspondant aux suites i de longueur 5) n'influencent pas cette réalisation du processus de Galton-Watson, car la population s'éteint à la 4ème génération ( $\scriptstyle\ X_{1111}=X_{1221}=0\$ ).

Étude fine de la taille des générations

Notons $\scriptstyle\ \varphi_n\$ la fonction génératrice de la variable aléatoire $\scriptstyle\ Z_n,\$ définie par

φ_{n} (s) = k \geq 0 \sum P (Z_{n} = k) s^{k} = E [s^{Z_{n}}] .

Posons

p_{ℓ}^{⋆ k} = [s^{ℓ}] φ^{k} (s) = P (X_{1} + \dots + X_{k} = ℓ),

où les X_i sont des variables aléatoires indépendantes, toutes de loi $\scriptstyle\ p\$ ; $\scriptstyle\ p^{\star k}=\left(p_{\ell}^{\star k}\right)_{\ell\ge 0}\$ est la k ème puissance de convolution de la loi $\scriptstyle\ p.\$

En vertu de la propriété de composition des fonctions génératrices, on a la relation suivante :

Relation de récurrence fondamentale —

φ_{n + 1} = φ \circ φ_{n} .

Remarques :

La relation de récurrence sur l'espérance de $\scriptstyle\ Z_{n},\$

découle alors de la formule de dérivation des fonctions composées.

À l'aide de la relation de récurrence fondamentale, on trouve aussi, le cas échéant, une formule de récurrence pour la variance de $\scriptstyle\ Z_{n}.\$
La démonstration de la formule de récurrence fondamentale montre aussi (modulo quelques modifications) que la suite $\scriptstyle\ (Z_{n})_{n\ge0}\$ est une chaine de Markov dont la matrice de transition $\scriptstyle\ \left(p_{i,j}\right)_{i,j\ge 0}\$ est définie par $\scriptstyle\ p_{k,\ell}\,=\,p_{\ell}^{\star k}.\$

Cas sur-critique

Dans le cas sur-critique, la taille de la population croit à vitesse exponentielle sur un ensemble assez large.

Théorème — Si la loi de la progéniture est intégrable, de moyenne m>1, alors il existe une variable aléatoire M telle que, presque sûrement,

lim \frac{Z _{n}}{m ^{n}} = M .

Si, de plus, la loi de la progéniture est de carré intégrable, alors $\scriptstyle\ \mathbb{P}(M>0)>0.\$ Par ailleurs, $\scriptstyle\ \dfrac{Z_n}{m^n}\$ converge vers M dans L₂.

Des résultats plus précis peuvent être obtenus grâce au théorème de Kesten-Stigum .

Ainsi, presque sûrement, $\scriptstyle\ m^n M(\omega)\$ est une bonne approximation, au premier ordre, du nombre $Z_{n} (ω)$ d'individus de la génération $n,$ du moins sur l'ensemble ${ω \in Ω ∣ M (ω) > 0},$ ensemble qui a une probabilité non nulle.

Un calcul explicite

Il y a assez peu d'exemples où la formule de récurrence fondamentale conduit à un calcul explicite de $\scriptstyle\ \varphi_{n}.\$ L'exemple le plus connu est celui où la loi de reproduction est un mélange de masse de Dirac en 0 et de loi géométrique,

P (X_{i} = k) = α 1 1_{k = 0} + (1 - α) (1 - p)^{k - 1} p 1 1_{k \geq 1}, (α, p) \in [0, 1] \times] 0, 1],

d'espérance

m = E [X_{i}] = \frac{1 - α}{p} .

Cela correspond exactement aux fonctions génératrices $\scriptstyle\ \varphi\$ qui sont des homographies :

φ (s) = α + (1 - α) \frac{p s}{1 - ( 1 - p ) s} .

D'après la classification des homographies en fonction du nombre de points fixes, l'homographie $\scriptstyle\ \varphi\$ est conjuguée à des applications dont les itérées se calculent simplement, à savoir à $\scriptstyle\ x\ \rightarrow\ x/m\$ dans les cas non critiques (deux points fixes, 1 et $\scriptstyle\ \tfrac{\alpha}{1-p}\$ ) et à $\scriptstyle\ x\ \rightarrow\ x+c\$ dans le cas critique (un point fixe double, 1).

Cas non critique

Dès que $\scriptstyle\ \alpha\neq 1-p,\$ on trouve, par diagonalisation d'une application linéaire associée à l'homographie $\scriptstyle\ \varphi,\$

\frac{φ ( s ) - \frac{α}{1 - p}}{φ ( s ) - 1} = \frac{p}{1 - α} \frac{s - \frac{α}{1 - p}}{s - 1} = \frac{1}{m} \frac{s - \frac{α}{1 - p}}{s - 1},

ce qui entraine

\frac{φ _{n} ( s ) - \frac{α}{1 - p}}{φ _{n} ( s ) - 1} = \frac{1}{m ^{n}} \frac{s - \frac{α}{1 - p}}{s - 1},

et conduit à un calcul explicite de $\scriptstyle\ \varphi_{n}.\$

Cas critique

Le cas $\scriptstyle\ \alpha= 1-p\$ est le cas critique $\scriptstyle\ m=1.\$ On trouve, toujours en raisonnant sur une application linéaire (non diagonalisable) associée à l'homographie $\scriptstyle\ \varphi,\$

\frac{φ ( s ) + 1}{φ ( s ) - 1} = \frac{s + 1}{s - 1} + 2 \frac{p - 1}{p} = \frac{s + 1}{s - 1} + c,

donc

\frac{φ _{n} ( s ) + 1}{φ _{n} ( s ) - 1} = \frac{s + 1}{s - 1} + n c .

Finalement $\scriptstyle\ \varphi_n\$ est une homographie :

φ_{n} (s) = \frac{( n c + 2 ) s - n c}{n cs + 2 - n c},

ce qui correspond au choix de paramètres $\scriptstyle\ (\alpha_n,p_n)\$ suivant :

p_{n} = \frac{p}{p + n ( 1 - p )} = P (Z_{n} > 0) = P (T > n), α_{n} = 1 - p_{n} .

Ici T désigne la date d'extinction, i.e. le numéro de la première génération vide.

Probabilité d'extinction

Théorème — La probabilité d'extinction d'un processus de Galton-Watson dont la distribution de la progéniture est $\scriptstyle\ p=\left(p_k\right)_{k\in\mathbb{N}},\$ est la plus petite solution, dans l'intervalle [0,1], de l'équation

φ (s) = s .

Comme $\scriptstyle\ \varphi\$ est une série entière de rayon de convergence au moins égal à 1, à coefficients positifs ou nuls, $\scriptstyle\ \varphi\$ est convexe (et même strictement convexe si p₀+p₁<1), et indéfiniment dérivable sur l'intervalle ]0,1[, et possède donc au plus 2 points fixes dans l'intervalle [0,1], sauf si $\scriptstyle\ \varphi(s)\equiv s.\$ Un théorème analogue concernant les cartes planaires aléatoires (une généralisation naturelle des arbres aléatoires) a été démontré en 2007.

Probabilité d'extinction (respectivement 0.25, 1 et 1) pour successivement égal à 0.2 (cas surcritique), 0.5 (cas critique), 0.7 (cas souscritique).

Exemple :

si $\scriptstyle\ \varphi(s)\equiv s,\$ le théorème dit que la probabilité d'extinction est nulle. Cela peut être vu directement sans difficulté, car $\scriptstyle\ \varphi(s)\equiv s\$ équivaut à $\scriptstyle\ p_1=1,\$ ce qui entraine immédiatement que chaque génération est constituée d'exactement un individu ;
plus généralement, si $\scriptstyle\ p_0=0,\$ 0 est point fixe, donc, d'après le théorème, est nulle (on pouvait le voir directement, puisque, en ce cas, chaque individu de la population a au moins un enfant) ;
si $\scriptstyle\ p_0+p_2=1,\$ les deux points fixes sont 1 et $\scriptstyle\ p_0/p_2,\$ donc, comme on pouvait s'y attendre, la probabilité d'extinction vaut 1 si $\scriptstyle\ p_0\ge p_2,\$ et vaut moins que 1 (en fait $\scriptstyle\ \mathbb{P}(\mathcal{E})=p_0/p_2\$ ) si $\scriptstyle\ p_0< p_2.\$ Ici, la valeur de est difficile à calculer directement, sans utiliser le théorème. La figure ci-contre montre plusieurs valeurs de $\scriptstyle\ p_0,\$ et la probabilité d'extinction correspondante.

Plus généralement

Théorème — On distingue 3 cas :

Cas souscritique (m<1). La probabilité d'extinction vaut 1.
Cas critique (m =1). La probabilité d'extinction vaut 1, sauf si $\scriptstyle\ p_1=1,\$ et, dans ce dernier cas, la probabilité d'extinction est nulle.
Cas surcritique (m>1). La probabilité d'extinction est strictement inférieure à 1 (et est le plus petit point fixe de φ dans l'intervalle [0,1]).

Le comportement du processus de Galton-Watson dans les cas souscritique et surcritique correspond à l'intuition. Par contre, le comportement du processus de Galton-Watson dans le cas critique aléatoire (l'extinction est certaine) est radicalement différent du comportement du processus de Galton-Watson dans le cas critique déterministe (chaque individu a exactement un enfant et l'extinction est impossible).