Théorème de Baire

Le théorème de Baire, dit aussi lemme de Baire, est un théorème de topologie dû au mathématicien René Baire. Un espace topologique est dit de Baire si toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense. De façon équivalente, un espace topologique est de Baire si une union dénombrable de fermés d'intérieur vide est d'intérieur vide.

1. Un espace topologique localement compact E est de Baire ;
2. Un espace métrique complet (E,d) (notamment un espace de Banach) est de Baire ;
3. Tout ouvert d'un espace de Baire est un espace de Baire.

• Analyse fonctionnelle :
• Théorèmes de l'application ouverte, du graphe fermé, de l'isomorphisme de Banach ;
• Théorème de Banach-Steinhaus ;
• Théorème de la limite simple de Baire ;
• Théorème de Baire-Brenef ;
• L'ensemble des fonctions nulle part dérivables contient un G_δ dense pour la norme de la convergence uniforme dans l'ensemble des fonctions continues sur un intervalle I.
• Connexité du tipi de Cantor ;
• Théorème de superposition de Kolmogorov ;
• Caractérisation des polynômes réels : Si $f$ est une fonction $C^{\infty }$ telle que $(\forall x\in \mathbb{R})(\exists n\in \mathbb{N})(f^{(n)}(x)=0)$, alors c'est un polynôme On peut noter l'inversion de quantificateurs avec la caractérisation évidente $(\exists n\in \mathbb{N})(\forall x\in \mathbb{R})(f^{(n)}(x)=0)$). Ici, $f^{(n)}$ désigne la dérivée n-ième de $f$.
• Un espace vectoriel normé réel n'est jamais complet s'il admet une base infinie dénombrable.