Ruban de Möbius

En topologie, le ruban de Möbius (aussi appelé bande de Möbius ou anneau de Möbius) est une surface fermée dont le bord est homéomorphe à un cercle. Autrement dit, il ne possède qu'une seule face contrairement à un ruban classique qui en possède deux. Elle a la particularité d'être réglée et non-orientable. Cette surface a été décrite indépendamment en 1858 par les mathématiciens August Ferdinand Möbius (1790-1868) et Johann Benedict Listing (1808-1882). Le nom du premier fut retenu grâce à un mémoire présenté à l'Académie des sciences à Paris. On trouve également les dénominations de bande, anneau ou ceinture de Möbius ou, abusivement et phonétiquement, de Moebius, notamment dans les traductions.

Il est facile de visualiser la bande de Möbius dans l'espace : un modèle simple se réalise en faisant subir une torsion d'un demi-tour à une longue bande de papier, puis en collant les deux extrémités. Si l'on coupe le ruban en deux dans le sens de la longueur, on obtient un anneau unique, vrillé, mais qui possède deux faces distinctes et deux bords distincts.
Si on le recoupe dans le sens de la longueur, on obtient... deux anneaux distincts, vrillés et entortillés l'un sur l'autre.

Ruban de Möbius classique

Le ruban de Möbius peut être engendré par un segment pivotant dont le centre décrit un cercle fixe. Un paramétrage correspondant est

Les courbes v = v₀, t variant seul, sont bien des segments, reliant à vitesse uniforme le point v = v₀, t = - 1 et le point v = v₀, t = 1. Ce segment est donc de longueur 2.

La courbe t = 0 est un cercle de rayon 2 dans le plan horizontal ; elle représente la trajectoire du centre des segments. L'angle que fait le segment avec la direction horizontale est v₀. Lorsque le centre a fait un tour complet sur le cercle horizontal (ajout de π à la variable v), le segment a fait un demi-tour seulement. Ce qui provoque le raccordement par exemple du point t = 1, v = π avec t = - 1, v = 0.

Le bord du ruban est donné par la courbe t = 1 ou t = - 1. Mais c'est la même courbe : le bord du ruban de Möbius est en un seul morceau (connexe).

On peut également voir l'animation ci-dessus en vision stéréoscopique :

• Animation stéréoscopique croisée :
• Animation stéréoscopique parallèle du même ruban :
• Les deux animations regroupées sur une même animation :

Autres figures obtenues par torsion

Des variantes du ruban classique peuvent s'obtenir en faisant subir à la bande de papier un nombre impair de demi-tours de sens direct ou rétrograde. Il suffit d'ajuster le paramétrage précédent :

avec $k$ entier relatif impair.

Les figures obtenues pour k et -k sont énantiomorphes, c'est-à-dire des images miroirs l'une de l'autre.

Si l'on accepte des valeurs paires de k on obtient des rubans à deux faces, plus ou moins entortillés.

Comparaison des différents rubans

On peut s'intéresser à la courbe formant le bord de ces rubans. Elle a un entortillement différent pour chaque valeur de k. L'entortillement se calcule par exemple en projection (vue de dessus), en comptant le nombre de fois où la courbe passe au-dessus d'elle-même. On ne peut déformer continûment (c'est-à-dire par homotopie) un type de ruban en un autre dans l'espace de dimension 3.

Pourtant les différents rubans sont homéomorphes au ruban de Möbius classique, c’est-à-dire qu'il n'y a pas de différence intrinsèque entre eux. Celle-ci est liée à la façon dont ils sont plongés dans l'espace de dimension 3.

Le ruban de Möbius à un demi-tour peut également être vu comme une partie de la surface de Möbius.

Objets dérivés

Si on colle deux rubans de Möbius le long de leur bord, on obtient une bouteille de Klein.

Si on colle un disque à un ruban de Möbius le long de leur bord, on obtient une surface de Boy.

Le ruban de Möbius peut se réaliser avec un ruban flexible de l'épaisseur d'une feuille de papier de 70 gr par exemple. Pour obtenir un ruban sans pliage brusque, il faut que, pour une largeur de ruban égale à 1, la longueur soit supérieure à 1,732 - soit la racine carrée de 3. Il est possible d'aller vers plus petit en longueur jusqu'à faire se rejoindre, avec un renversement hélicoïdal, les côtés opposés d'un carré, mais les pliages seront brusques.

Le ruban de Möbius peut apparaître comme un objet mathématique ou une construction artistique. Il faut savoir que cette disposition était souvent utilisé dans le monde industriel du 19 siècle lorsque les machines fonctionnaient à partir de courroies. Les courroies étaient croisées à la jonction afin d'user les "2 côtés" de la courroie en même temps. En fait, la description du ruban de Möbius fera appaître que la courroie n'avait qu'un seul côté.

Mathématiquement, on peut définir le ruban comme l'ensemble quotient de l'ensemble $\mathbb{R}\times [-1,1]$ par la relation d'équivalence définie par : $(x,y)\sim (x^{\prime },y^{\prime })$ si et seulement si $\exists k\in \mathbb{Z};(x^{\prime },y^{\prime })=(x+k,(-1{)}^{k}y)$, muni de la topologie quotient. Par comparaison, un ruban « normal » (tronc de cylindre) serait défini par la relation $\exists k\in \mathbb{Z};(x^{\prime },y^{\prime })=(x+k,y)$.

Cela permet de voir mathématiquement ce qui se passe quand on découpe le ruban : si $p:\mathbb{R}\times [-1,1]\to \mathbb{R}\times [-1,1]/\mathbb{Z}$ est l'application de passage au quotient, $p(\mathbb{R}\times \{0\})$ est un cercle dont le complémentaire est connexe.

On peut aussi réaliser le ruban de Möbius comme le complémentaire d'un disque ouvert dans le plan projectif réel (vu comme la sphère après idendification des points diamètralement opposés).

Le ruban de Möbius apparaît dans de très nombreuses productions artistiques.

Logo

• Une version schématisée du ruban de Möbius est utilisée comme logo des matières recyclables depuis le premier Jour de la Terre en 1970. La boucle Möbius indique qu'un produit peut être recyclé, ou qu'il a été fabriqué à partir de matériaux recyclés. Il s'agit en fait d'un ruban à trois demi-tours.

Films et séries

• Thru the Moebius Strip, film entièrement numérique de 80 minutes réalisé par Frank Foster à Global Digital Productions (Hong Kong). Le film est sorti aux Etats-Unis en 2005.
• Le ruban de Möbius a aussi été utilisé dans le dessin d'une planète dans un épisode du dessin animé Ulysse 31.
• Moebius est également le nom du double épisode final de la saison 8 de Stargate SG-1.
• Lost Highway de David Lynch est souvent comparé à un ruban de Moebius. Au début de l'intrigue, Fred Madison, de l'intérieur de sa maison, reçoit un appel par interphone. Et à la fin, c'est lui-même, qui de l'extérieur de la maison, parle dans l'interphone, idem pour Timecrimes.

Lire aussi "Piège sur Zarkass" de Stéfan Wul, roman dans lequel l'auteur base l'accès au sub-espace par le truchement de trois bandes de Moebius imbriquées ensemble

Jeux vidéo

• « Mobius 1 » est le nom de code (codename) du pilote, et accessoirement le héros que vous contrôlez dans le jeu Ace Combat 4 : Distant Thunder. Son insigne personnel est un ruban de Möbius.
• « Mobius Ring » est une course des jeux F-Zero AX et F-Zero GX sortis en Arcade et sur Gamecube.
• « Möbius maze » est l'un des huit lieux cachés dans le jeu de rôle "light of oblivion" sorti sur PlayStation et PC.
• « Mobius » était ce que beaucoup pensaient être le nom du monde de Sonic en Europe et aux États-Unis avant la sortie du jeu Sonic Adventure en 1999. Il s'agissait en réalité d'une erreur de traduction lors d'une interview de Yuji Naka (co-créateur de Sonic) qui parlait justement d'un motif du décor en spiral, qu'il qualifiait de "ruban de Möbius". L'erreur fut si bien reprise qu'on retrouvera le nom de Mobius désignant la planete ou vit Sonic dans les comics d'Archie.
• Dans S.T.A.L.K.E.R. - Clear Sky sur PC, le héros fait allusion au ruban de Mobius pour illustrer l'effet d'une « bulle anormale  » qui ramène inlassablement ceux qui y entrent à leur point de départ.

Romans

• Dans 2010, Odyssée deux, l'aberration de comportement de l'ordinateur HAL 9000 est désignée comme une « boucle de Hofstadter-Möbius ».
• Dans Hyperion de Dan Simmons, le Cube de Möbius renferme l'énergie produite par les ergs.
• Dans L'anneau de Moebius de Frank Thilliez, l'anneau est en réalité le schéma de l'histoire... (Il faut le lire pour comprendre.)
• Dans Anges et démons, de Dan Brown, au paragraphe 31.
• Dans la série Necroscope, de Brian Lumley, Harry Keogh, le héros, visualise fréquemment le ruban de Möbius afin d'ouvrir une porte pour naviguer dans l'espace-temps.

Sculptures et graphismes

• Un énorme anneau de Möbius est représenté sous forme de sculpture à Lille, dans le quartier de Wazemmes. Cette sculpture, créée par Marco Slinckaert occupe le centre d'un rond-point en face de la CPAM. Elle est aussi appelée serpent par sa grande ressemblance. Une autre sculpture se situe à l'Université de Rennes 1, sur le campus de Beaulieu.
• Max Bill a sculpté plusieurs rubans de Möbius, en particulier au Musée du Middelheim dans le parc du même nom à Antwerpen (Anvers) en Belgique. On peut également voir l'un de ses Endless Ring en granite au Centre Pompidou à Paris.
• Keizo Ushio sculpte des rubans de Möbius découpés le long de leur ligne médiane. Voir par exemple [1].
• Maurits Cornelis Escher, graveur et dessinateur néerlandais (1898-1972), a fait de nombreuses études sur le ruban de Möbius.

Dans le vocabulaire de Jacques Lacan : « 1962/63 - L'angoisse - 09/01/63 - Qu'est-ce qui fait qu'une image spéculaire est distincte de ce qu'elle représente ? c'est que la droite devient la gauche et inversement. - Une surface à une seule face ne peut pas être retournée. - Ainsi une bande de Mœbius, si vous en retournez une sur elle-même, elle sera toujours identique à elle-même. C'est ce que j'appelle n'avoir pas d'image spéculaire. »

Il convient de remarquer que, d'un point de vue mathématique, l'affirmation précédente de Lacan est erronée : on a vu dans les sections précédentes que l'image miroir d'un ruban de Möbius correspond à un retournement (avant collage) d'un demi-tour dans l'autre direction, et donc n'est pas identique au ruban initial.