Espace localement compact

En topologie, un espace localement compact est un espace séparé qui, sans être nécessairement compact lui-même, admet des voisinages compacts pour tous ses points. On peut y généraliser (au moins partiellement) beaucoup de résultats sur les espaces compacts. Ce sont aussi les espaces qu'on peut « rendre » compacts avec un point grâce à la compactification d'Alexandroff.

La compacité est une source très fertile de résultats en topologie mais elle reste une propriété très contraignante. En particulier, le fait qu'un espace métrique doit être borné pour être compact fait que les résultats concernant les espaces compacts ne sont presque jamais applicables aux espaces métriques rencontrés, qui sont très rarement bornés.

Cependant on peut appliquer ces résultats à certains espaces métriques (et notamment les espaces vectoriels normés) non bornés à condition que l'objet étudié respecte certaines propriétés supplémentaires, qui permettent d'y appliquer les outils développés pour les espaces compacts.

Par exemple, toute suite de points d'un compact admet une valeur d'adhérence ; le théorème de Bolzano-Weierstrass dit qu'une suite de points de $\mathbb{R}$ (ou plus généralement de ${\mathbb{R}}^n$) qui est bornée admet une valeur d'adhérence. Or ni $\mathbb{R}$ ni ${\mathbb{R}}^n$ ne sont compacts, mais en ajoutant « bornée » on peut conclure quelque chose, car $\mathbb{R}$ et ${\mathbb{R}}^n$ sont localement compacts. Il n'est pas vrai en général qu'une suite bornée d'un espace métrique a une valeur d'adhérence. Il suffit de regarder les suites bornées à valeurs dans $\mathbb{Q}$.

Autre exemple, peut-être plus parlant : un théorème connu dit que si une fonction est une bijection continue d'un espace compact vers un espace séparé, alors sa réciproque est aussi continue (et donc c'est un homéomorphisme). C'est faux en général pour un espace topologique mais dans le cas de $\mathbb{R}$ on a le théorème de la bijection : « si une fonction est une bijection continue d'un intervalle de $\mathbb{R}$ vers un autre intervalle, alors sa réciproque est aussi continue », que l'intervalle soit compact ou non.

Le fait que ces deux résultats typiques de la compacité s'adaptent partiellement dans le cas d'espaces non compacts tient justement à la notion de compacité locale.

Définitions

Un espace topologique $X$ est dit localement compact si et seulement s’il est séparé et tout point de $X$ admet un voisinage compact. Autrement dit, en notant $\mathcal{T}$ l'ensemble des ouverts de $X$ :

$\forall x\in X,\exists K\subset X,\exists U\in \mathcal{T}t.q.\left\{x\right\}\subset U\subset K$ avec $K$ compact.

Cette définition implique immédiatement la caractérisation suivante (parfois prise comme définition) : un espace topologique séparé $X$ est localement compact si et seulement si tout point de $X$ admet un système fondamental de voisinages compacts.

Dans ces définitions, le mot « compact » peut être remplacé par exemple par « connexe » ou « connexe par arcs » pour obtenir d'autres notions ; c'est le procédé de définition des espaces « localement truc ». Voir Espace localement connexe, Espace localement connexe par arcs.

Propriétés

La première propriété des espaces localement compacts, la plus évidente, est que si un espace $X$ est compact alors il est localement compact. On verra avec les exemples que la réciproque est fausse ; la compacité locale est donc une notion strictement plus faible que la compacité (c'est-à-dire moins restrictive).

Comme la plupart des propriétés topologiques, la compacité locale est conservée par homéomorphisme : si $f:X_1\to X_2$ est un homéomorphisme entre deux espaces topologiques et si $X_1$ est localement compact, alors $X_2$ l'est aussi.

Un sous-espace $Y$ d'un espace localement compact $X$ est lui-même localement compact si et seulement s’il peut s'écrire comme la différence de deux fermés de $X$ : $Y=F_1\backslash F_2$.

En particulier tous les ouverts et les fermés d'un espace localement compact $X$ sont localement compacts :

• Si $F$ est fermé, on écrit $F=F\backslash \varnothing$
• Si $U$ est un ouvert, on écrit $U=X\backslash \left(X\backslash U\right)$, où $X$ et $X\backslash U$ sont fermés.

Tout espace localement compact est complètement régulier.

Tout espace localement compact est un espace de Baire, c'est-à-dire que la conclusion du théorème de Baire s'y applique : une union dénombrable de parties nulle part denses (c'est-à-dire dont l'intérieur de l'adhérence est vide) est d'intérieur vide.

Exemples

L'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$, l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$, ou les espaces produit ${\mathbb{R}}^n$ et ${\mathbb{C}}^n$ sont les premiers exemples d'espace localement compacts ; d'après un théorème cité plus haut tous leurs ouverts ou leurs fermés le sont aussi. En particulier l'intervalle $]0,1[$ ou le disque ouvert du plan complexe sont des exemples typiques d'espaces localement compacts mais pas compacts. Des espaces comme l'ensemble de Cantor ou le cube de Hilbert sont bien entendu localement compacts, puisqu'ils sont même compacts.

En revanche, l'ensemble des nombres rationnels $\mathbb{Q}$, ou les espaces vectoriels de dimension infinie rencontrés en analyse fonctionnelle ne sont pas localement compacts. Un autre contre-exemple, plus visuel, est formé par le « demi-plan ouvert plus un point » : $H=\left\{(0,0)\right\}\cup \left\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2|x>0\right\}$ c'est-à-dire les points du plan d'abscisse strictement positive plus l'origine. Dans ce cas c'est justement l'origine qui pose problème, car elle n'a aucun voisinage compact.