Trace (algèbre)

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Introduction

En algèbre linéaire, la trace d'une matrice carrée A est définie comme la somme de ses coefficients diagonaux, notée Tr(A). La trace peut être vue comme une forme linéaire sur l'espace vectoriel des matrices. Pour toutes matrices A et B, Tr(AB)=Tr(BA).

Si E est un espace vectoriel de dimension finie sur un corps K, alors il existe une unique application linéaire Tr sur l'espace $L (E)$ des opérateurs de E, vérifiant Tr(uv)=Tr(vu) et Tr(Id)=dim E. Le scalaire Tr(u) s'appelle la trace de l'opérateur u, et vaut la trace de la matrice représentant u dans une base quelconque de E. Plus généralement, sur une algèbre A, une trace est une forme linéaire λ telle que λ(a**b) = λ(b**a). Cette définition se rencontre en particulier dans l'étude des algèbres de von Neumann, qui sont des algèbres d'opérateurs sur des espaces de Hilbert.

Parmi les applications,

- En algèbre linéaire, la trace d'un opérateur u est la somme de ses valeurs propres comptées avec multiplicité. Par exemple, la trace d'une rotation de R3 est 1 + 2cos(θ) et fournit donc l'angle de rotation θ.

- En théorie de Galois, la trace est à l'origine de la définition de la forme trace. Cette forme est aussi utilisée en théorie algébrique des nombres, par exemple pour définir le discriminant d'un anneau d'entiers algébriques.

- Dans la théorie des représentations, la trace d'une représentation est son caractère. Par exemple, pour une représentation d'un groupe fini, son caractère permet de comprendre sa décomposition en somme directe de représentations irréductibles. Cette théorie permet de mieux comprendre la structure d'un groupe. En conséquence, on retrouve l'utilisation de cet outil dans la démonstration de théorèmes sur le sujet, comme par exemple celui de Burnside sur un groupe résoluble ou celui sur le problème de Burnside.

- Dans l'étude des groupes de Lie, et toujours en rapport avec la théorie des représentations, la trace permet de définir la forme de Killing, qui est une forme quadratique sur l'algèbre de Lie correspondante. Le critère de Cartan en montre l'importance. Par exemple, la forme de Killing est définie négative ssi la composante neutre est compact (théorème de Meyers).

- En calcul différentiel, la trace apparait comme la différentielle du déterminant en l'identité. La trace intervient dans la définition de la divergence d'un champ de vecteurs, qui mesure le défaut à ce que son flot préserve le volume.

Dans tout l'article on considère des matrices à coefficients dans un corps $K$ .

Définition

Trace d'une matrice carrée

Étant donnée une matrice carrée $A = (a_{i j})_{1 \leq i, j \leq n}$ à coefficients dans un corps K ou dans un anneau A, sa trace, notée Tr(A), est la somme de ses coefficients diagonaux :

$Tr (A) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i i}$ .

La trace est un scalaire. Pour toutes matrices carrées A et B (de même ordre) et pour tout scalaire $α \in K$ , les propriétés suivantes sont vérifiées :

(P_{1}) Tr (A + B) = Tr (A) + Tr (B) (P_{2}) Tr (α A) = α Tr (A) (P_{3}) Tr (A^{T}) = Tr (A) (P_{4}) Tr (A B) = Tr (B A)

A désigne la transposée de A, et AB le produit matriciel de A et de B.

La propriété 4 a pour corolaire important l'égalité suivante, valable pour toute matrice carrée A et pour toute matrice inversible P de même ordre :

(P_{5}) Tr (P^{- 1} A P) = Tr (A)

Autrement dit, la trace est un « invariant de similitude » pour les matrices carrées d'ordre donné. Ainsi, la trace est une forme linéaire sur l'espace vectoriel $M_{n} (K)$ des matrices carrées d'ordre n (propriétés 1 et 2), invariante par transposition (propriété 3) et par similitudes.

Inversement, toute forme linéaire sur l'espace $M_{n} (K)$ invariante par similitude est proportionnelle à la trace.

Trace d'un endomorphisme

Sur un espace vectoriel E de dimension finie n, la trace d'un endomorphisme $u \in L (E)$ , notée T**r(u), est définie comme la trace de la représentation matricielle de u relativement à une base préalablement fixée $B$ de E. La propriété (P5) ci-dessus montre que cette définition ne dépend pas du choix arbitraire de $B$ .

En effet, étant données deux bases $B$ et $B^{'}$ , est introduite la matrice de passageP de la base $B$ à la base $B^{'}$ . Les matrices A et A' représentant u respectivement dans $B$ et $B^{'}$ vérifie la relation dite « de changement de base » : A' = P A**P. Par la propriété (P5), Tr(P A**P) = Tr(A), donc Tr(A') = Tr(A).

Les propriétés suivantes sont vérifiées pour tous endomorphismes $u, v \in L (E)$ et pour tout scalaire $α \in K$ .

(P_{1}^{'}) Tr (u + v) = Tr (u) + Tr (v) (P_{2}^{'}) Tr (α u) = α Tr (u) (P_{3}^{'}) Tr (u^{T}) = Tr (u) (P_{4}^{'}) Tr (u \circ v) = Tr (v \circ u)

De plus, si $v \in GL (E)$ (c'est-à-dire que v est un automorphisme), alors :

(P_{5}^{'}) Tr (v^{- 1} \circ u \circ v) = Tr (u)

Autrement dit la trace est une forme linéaire sur l'espace vectoriel $L (E)$ , invariante par transposition et par conjugaison.

Trace d'une forme quadratique

Soit (E,g) un espace euclidien de dimension finie. Pour toute forme quadratique q sur E, il existe un opérateur symétrique A sur (E,g) tel que

q(v) = g(v,A**v).

La trace de A est appelée trace de la forme quadratique q par abus de langage. Sa définition dépend explicitement du choix de la métrique euclidienne g.

Exemples

Soit E un espace vectoriel de dimension n.

La trace de l'identité Id est : Tr(Id) = n = dim E.
La trace d'une transvection est aussi dim E.
Pour tous opérateurs u et v, on pose [u,v]=uv-vu. La trace de [u,v] est nulle, ce qui signifie exactement Tr(uv)=Tr(vu).

Dans les espaces euclidiens :

La trace d'une rotation de R d'angle θ est donnée par : Tr(R_θ) = 2cosθ.
Plus généralement pour tout entier $n \geq 2$ , la trace d'une rotation d'axe Δ et d'angle θ dans l'espace à n dimensions est donnée par : Tr(R_Δ,θ) = n − 2 + 2cosθ.

Pour des matrices :

Toute permutation $σ \in S_{n}$ (où $S_{n}$ représente le groupe symétrique d'ordre $n$ ) est représentée par une matrice $M_{σ} = (m_{i j})_{1 \leq i, j \leq n}$ carrée d'ordre $n$ , définie par :

{m_{i j} = 1 si σ (i) = j m_{i j} = 0 sinon

La trace de la matrice M_σ s'interprète alors comme le nombre de points fixes de la permutation σ :

Tr (M_{σ}) = Card {i \in {1, ..., n} ∣ σ (i) = i}

La trace de la matrice d'adjacence d'un graphe est nulle (si un sommet ne boucle pas sur lui-même).

Applications

Réduction d'opérateurs

Un projecteur p de E est un opérateur vérifant p=p. Le lemme des noyaux implique que E est la somme directe du noyau F de p et de l'image G de p ; et p se restreint en l'identité sur G. Géométriquement, p est la projection sur G parallèlément à F. En concaténant des bases de F et G, on a une base de E dans laquelle le matrice de u est diagonale avec comme coefficients 0 et 1. Il s'en suit que la trace de p est la dimension de G :

$Tr (p) = dim (Im (p))$ .

Plus généralement, les traces fournissent des informations sur la réduction des opérateurs. On rappelle que le polynôme caractéristique de u est

P(X) = det(X − u).

Si P(X) est scindé (par exemple, si le corps de base K est algébriquement clos) alors u est triangularisable. Autrement dit, il existe une base de E dans laquelle l'opérateur u s'écrit sous la forme d'une matrice triangulaire supérieure. Les coefficients diagonaux sont les racines de son polynôme caractéristique P(X) comptées avec multiplicité, qui sont les valeurs propres de u. On les note ici $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ . Par définition, la trace de u est

$Tr (u) = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i}$ .

En particulier, le développement du polynôme caractéristique est

$P (X) = \prod_{i =^{1}}^{n} (X - λ_{i}) = X^{n} - Tr (u) X^{n - 1} + ...$ .

Les autres coefficients du polynôme caractéristique sont les valeurs des polynômes symétriques élémentaires en $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ . Par conséquent, si le corps K est de caractéristique nulle, les coefficients s'expriment comme des polynôme en les traces des puissances de u :

$Tr (u^{k}) = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i}^{k}$ pour $1 \leq k \leq n$ .

Par exemple, si E est de dimension 3,

$P (X) = X^{3} - Tr (u) X^{2} + \frac{Tr ( u ) ^{2} - Tr ( u ^{2} )}{2} X - det (u)$ .

L'application suivante est un exercice proposé au concours d'entrée de l'École polytechnique. Soit u un opérateur sur un espace vectoriel réel E, tel que $Tr (u) = Tr (u^{2}) = \dots = Tr (u^{n}) = 0$ . Alors u est un opérateur nilpotent.

Divergence

Étant donné un espace vectoriel réel E de dimension finie, le déterminant définit une application det de l'espace des opérateurs sur E vers R, qui est homogène de degré n. Le nombre det(u) s'exprime comme une fonction polynômiale en les coefficients de la matrice représentant u dans une base quelconque de E. La fonction det est donc différentiable. Sa différentielle en l'identité est la trace. Autrement dit, pour tout opérateur u sur E,

det(I + u) = 1 + Tr(u) + o(u)

où o(u) signifie que le reste est négligeable devant u quand u tend vers zéro. Comme conséquence, pour tout opérateur u sur E,

det(exp(u)) = exp(Tr(u)).

En particulier, l'exponentielle de u est de déterminant 1 ssi u est un opérateur de trace nulle. Ce résultat s'interprète dans la théorie des groupes de Lie comme suit. L'application det est un morphisme continu de groupes du groupe linéaire GL(E) vers R. Son noyau, l'ensemble des opérateurs de déterminant 1, donc est un sous-groupe de GL(E), noté SL(E). Il s'agit d'un groupe de Lie classique, c'est-à-dire d'un sous-groupe fermé de GL(E). Géométriquement, un opérateur appartient à SL(E) ssi il préserve le volume de Lebesgue de E. Son algèbre de Lie est exactement l'ensemble des opérateurs u de trace nulle, noté $sl (E)$ .

Sur un ouvert U de E, un champ de vecteurs X est une application $X : U \to R^{n}$ . Si cette application est lipschitzienne, le théorème de Cauchy-Lipschitz affirme l'existence de solutions maximales de l'équation différentielle ordinaire

c'(t) = X(c(t)) (1).

Le flot de X est la famille de difféomorphismes f_t qui envoient x sur c(t), où c est la solution de (1) avec comme condition initiale c(0)=x. Le flot est défini localement. On introduit la divergence de X

div(X)(x) = Tr(dX(x))

où dX(x) désigne la différentielle de X en x, qui est un opérateur sur E. Le flot f_t préserve le volume de Lebesgue ssi la divergence est nulle. Plus précisément, pour tout ouvert Ω dont l'adhérence est incluse dans U,

$\frac{d}{d t} t = 0 V o l (f_{t} (Ω)) = \int Ω div (X) (x) d x$ .

(Cette égalité permet d'étendre la définition de la divergence, par exemple sur des variétés orientées en présence de formes volumes. Voir divergence (mathématiques).)

Forme de Killing

Si $g$ est une algèbre de Lie sur un corps K, la représentation adjointe de $g$ , notée ad, est donnée par

a**d(X)(Y) = [X,Y].

La forme de Killing sur $g$ est la forme bilinéaire symétrique

$B (X, Y) = Tr (a d (X) \circ a d (Y))$ .

Les automorphismes de l'algèbre de Lie $g$ préserve la forme de Killing. En particulier, sa représentation adjointe préserve B. La forme de Killing a été introduite par Cartan pour caractériser la semi-simplicité des algèbres de Lie. Quand K=R, elle fournitaussi des infiormations sur le groupe de Lie associé. Voir critère de Cartan.

Soit G un groupe de Lie (par exemple, un sous-groupe fermé de GL(E)). Par définition, son algèbre de Lie est l'espace des champs de vecteurs sur G invariants à gauche, muni du crochet de Lie [,] (commutateur de champs de vecteurs). La forme de Killing associée B définit une métrique pseudo-riemannienne bi-invariante sur G. Si la forme de Killing B est définie positive, alors la métrique associée est une métrique riemannienne à courbure positive. Le théorème de Meyers implique que G est compact. D'autres liens existent.

Produit scalaire canonique

Soit $A = (a_{i, j})_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq p}$ et $B = (b_{i, j})_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq p}$ deux matrices dans $M_{n, p} (R)$ . On remarque que

(A ∣ B) = 1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq p \sum a_{i, j} b_{i, j} = Tr (^{t} A B) = Tr (^{t} B A)

On dispose ainsi d'une écriture agréable du produit scalaire canonique sur l'espace R.

Si H est un espace de Hilbert de dimension finie, la transposée d'un opérateur u sur H est un opérateur sur H. On définit alors le produit scalaire sur l'espace $L (H)$ des opérateurs sur H :

$(u ∣ v) = Tr (u^{*} v)$ .

Avec cette définition, il apparait clairement que les opérateurs symétriques et les opérateurs antisymétriques forment deux sous-espaces orthogonaux de $L (H)$ . La transposée est la symétrie orthogonale par rapport à l'espace des opérateurs symétriques.

Laplacien

Soit U un ouvert d'e l'espace vectoriel réel R contenant 0, et soit $f : U \to R$ de classe C. La hessienne de f en 0 est une forme bilinéaire symétrique sur E, vérifiant

$f (x) - f (0) = df (0) (x) + H ess (f) (x, x) + o (∣ x ∣^{2})$ .

Par définition, le laplacien de f en 0 est la trace de la hessienne :

Δ f (0) = T r [H ess (f) (0)] = i = 1 \sum n \frac{\partial ^{2} f}{\partial x _{i}^{2}} (0)

Les fonctions de classe C de laplacien nul sont dites harmoniques. Nécessairement analytiques, ces fonctions interviennent notamment en analyse complexe et en analyse fonctionnelle. En particulier, les fonctions de laplacien nul sont les solutions du problème de Dirichlet qui est la recherche des extrémales de l'énergie de Dirichlet.

Par ailleurs, la définition du Laplacien se généralise en géométrie différentielle pour des fonctions sur des variétés riemanniennes, mais aussi pour des objets plus généraux, comme par exemple les formes différentielles. Y compris dans ce cadre plus général, la définition peut être donnée par des traces de formes bilinéaires. Les formes de laplacien nul sont appelées harmoniques, et la théorie de Hodge en montre l'importance.

Termes de courbure

Etant donné une surface orientée lisse S de l'espace euclidien R, la courbure moyenne de S en x est la moyenne des deux courbures principales de S en x. Formellement, ces courbures sont les valeurs propres d'une forme quadratique sur le plan tangent T_xS, appelée la seconde forme fondamentale de S en x, notée II_x. La courbure moyenne de S en x est

$m (x) = \frac{T r I I _{x}}{2}$ .

La définition de la courbure moyenne s'étend aux sous-variétés lisses N des variétés riemanniennes. Sa valeur en x n'est plus un scalaire mais un vecteur orthogonal à T_xN, qui se définit encore au moyen de traces. Les sous-variétés de courbure moyenne nulle sont appelées minimales et sont les extrémales du volume riemannien.

Généralisations

Opérateurs à trace

En dimension infinie, un espace de Hilbert H est séparable ssi il admet une base orthonormée complète $(e_{i}, i \in Z)$ . Un opérateur A est dit à trace si

$∣ A ∣1 = \sum i \in Z ∣ A e_{i} ∣ < \infty$ .

Dans ce cas, on pose

$Tr (A) = \sum_{i \in Z} < A e_{i} ∣ e_{i} >$ .

Les opérateurs à trace forment un espace vectoriel noté L(H), qui est complet pour la norme $∣ ∣_{1}$ . La trace définit une forme linéaire continue Tr de L(H) vers R.

$∣ Tr (A) ∣ \leq ∣ A ∣_{1} = Tr (A^{*} A)$ .

En dimension finie, la trace d'un opérateur est la somme des coefficients diagonaux d'une représentation matricielle. L'exemple suivant en est une généralisation. Soit μ une mesure borélienne sur un espace topologique compact K. Soit $f : K^{2} \to R$ une application continue. Sur l'espace de Hilbert $L^{2} (K, R)$ des fonctions $K \to R$ des fonctions de carré sommable, elle définit l'opérateur à noyau

L^{2} (K, R) \to L^{2} (K, R) h \mapsto x \mapsto \int_{K} f (x, y) h (y) d μ (y)

est un opérateur à trace, et sa trace vaut :

∫	f(x,x)dμ(x).
K