Équation de Poisson-Boltzmann - Définition
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Autres formes
De manière plus générale, dans un milieu continu de constante diélectrique ε(r), V(r) obéit à une forme généralisée de l'équation de Poisson :
![\nabla . [\epsilon(r) \nabla V(r)] = -4 \pi \rho(r)](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/e/e06d3878a0e9a0c97da39e682b0b7203_0f363545dd7d5bd395ec96caea08241e.png)
En tenant compte de la présence d'ions monovalents mobiles en solution, on obtient la forme suivante pour l'équation de Poisson-Boltzmann :
![\nabla . [\epsilon(r) \nabla V(r)] - \frac{8 \pi e^2 N_A I}{1000 k_B T} sinh[V(r)] = -4 \pi \rho(r)](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/9/91ef5143addb0a8f5849dc08823dae87_d0109f4aab38a0a998bc3f18f34010ad.png)
où I est la force ionique de la solution, NA le nombre d'Avogadro et e la charge de l'électron. Quand la force ionique de la solution est faible, on peut linéariser cette équation en ne retenant que le premier terme du développement de la fonction sinh en série de Taylor :
![\nabla . [\epsilon(r) \nabla V(r)] - \frac{8 \pi e^2 N_A I}{1000 k_B T} V(r) = -4 \pi \rho(r)](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/6/682cfbeff685910e8b884f514e1d44d2_19dce7d36015a4e5a63a35ced459ee18.png)
Cette équation ne peut être résolue de façon analytique que dans des cas très simples.
