On vient de rencontrer un groupe algébrique, qui plus est commutatif ; k et k* en sont deux autres exemples (pour l'addition et la multiplication respectivement). D'autre groupes algébriques (non nécessairement commutatifs) existent naturellement : GLn(k) est en effet un ouvert de Zariski de
(le déterminant est polynomial en les coordonnées) et les formules de multiplication et de passage à l'inverse (
) sont également polynomiales. Beaucoup de ses sous-groupes sont de nature algébrique (SLn,
,
…). La nature du corps de base intervient ici de façon cruciale, ne serait-ce que parce qu'on peut parler de groupe de Lie dans le cas réel par exemple.
De manière générale, les cas
ou
reçoivent des soins particuliers faisant intervenir leur nature topologique/analytique. La géométrie algébrique complexe est sans soute la plus élaborée puisqu'elle peut mettre à profit le théorème fondamental de l'algèbre . Dans l'étude des schémas réels, on aura parfois intérêt à considérer le schéma complexe associé par extension des scalaires, puis à revenir au problème réel en considérant les points fixes de l'action de la conjugaison. C'est sûrement en géométrie arithmétique que ces changements de scalaires sont les plus utiles. Par exemple, à une équation dans
, on associera souvent les schémas induits sur Fp par réduction modulop, où sur des complétions p-adique de
. À la différence des cas réels et complexes, les problèmes de caractéristique sont ici récurrents…
