Groupe (mathématiques) - Définition
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Conséquences élémentaires de la définition
Quelques conséquences élémentaires peuvent être tirées de l'étude de la définition.
Plus de deux éléments
L'axiome d'associativité permet de définir l'opération sur trois éléments et non plus deux, en "levant" les parenthèses. En effet, quels que soient les éléments a, b et c du groupe, il est possible de définir a • b • c sans ambigüité :
- a • b • c = (a • b) • c = a • (b • c).
Puisque les parenthèses peuvent être écrites n'importe où dans une série de plusieurs termes, il est d'usage de les omettre.
Affaiblissement des axiomes
Les axiomes peuvent a priori être affaiblis, en ne considérant par exemple que l'inverse et l'élément neutre à gauche. Si on remplace les deux derniers axiomes de la définition ci-dessus par
- Élément neutre à gauche
Il existe un élément e de G tel que, pour tout a dans G, e • a = a.
- Inverse à gauche
Pour tout élément a de G, il existe b dans G tel que b • a = e, où e est l'élément neutre.
La nouvelle définition, apparemment plus générale que la précédente, est en fait équivalente.
- Inverse
Notons b l'inverse à gauche d'un élément quelconque a. L'élément b admet lui-même un inverse à gauche, noté c. On a donc, quel que soit a :
- b • a = e
- c • b = e
Donc
- a • b = e • (a • b) ; car e est élément neutre à gauche
- = (c • b) • (a • b) ; car c • b = e
- = c • (b • a) • b ; par associativité
- = c • e • b ; puisque b • a = e
- = c • b ; car e • b = b, puisque e est élément neutre à gauche
- = e ; car c est l'inverse à gauche de b.
Donc a • b = e : l'inverse à gauche de a est aussi inverse à droite.
- Élément neutre
Quel que soit a élément du groupe, d'inverse b,
- a = e • a
- = (a • b) • a
- = a • (b • a) ; par associativité
- = a • e
donc e est aussi élément neutre à droite.
Unicité de l'élément neutre et des inverses
Il y a unicité de l'élément neutre et, pour chaque élément a du groupe, de l'inverse de a. Cela signifie qu'un groupe possède exactement un élément neutre et que chaque élément du groupe possède un et un seul inverse. L'emploi de l'article défini est donc correct : on parle de « l'inverse » d'un élément et de « l'élément neutre » du groupe.
- Unicité de l'élément neutre
Supposons que le groupe possède deux éléments neutres e et f. On a alors
- e • f = e ; car f est un élément neutre.
- e • f = f ; car e est un élément neutre.
Soit e = f.
- Unicité de l'inverse
Pour prouver l'unicité de l'inverse, on suppose qu'un élément a possède deux inverses b et c et on prouve qu'ils sont égaux.
- (b • a) • c = b • (a • c) ; par associativité
- e • c = b • e ; car b et c sont des inverses de a
- c = b ; car e est l'élément neutre
