Groupe (mathématiques) - Définition
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Groupes munis d'une autre structure
De nombreux groupes sont en même temps des exemples d'autres structures mathématiques. Dans le langage de la théorie des catégories, il existe des groupes dans une catégorie, ce qui signifie qu'il existe des objets (c'est-à-dire des exemples d'une autre structure mathématique) accompagnés de transformations (appelées morphismes) qui imitent les axiomes de groupe. Par exemple, chaque groupe est aussi un ensemble, donc un groupe est un objet groupe dans la catégorie des ensembles.
Groupes topologiques
Certaines espaces topologiques peuvent être munis d'une loi de groupe. Pour que la loi du groupe et la topologie interagissent correctement, les opérations du groupe doivent être continues, c'est-à-dire que g • h, et g−1 ne doivent pas beaucoup varier si g et h varient peu. De tels groupes sont dits groupes topologiques. Les exemples les plus courants sont le groupe des nombres réels non nuls, muni de la multiplication usuelle (R \ {0}, ·), ainsi que les corps topologiques semblables comme celui des nombres complexes ou les nombres p-adiques. Tous ces groupes sont localement compacts, ils ont donc une mesure de Haar et peuvent être étudiés via l'analyse harmonique. La mesure de Haar offre un formalisme abstrait des intégrales invariantes. L'invariance signifie, dans le cas des nombres réels par exemple :
pour toute constante c. Les groupes de matrices à coefficients dans ces corps relèvent de ce régime, comme les anneaux adèles et les groupes algébriques adéliques (en) qui sont fondamentaux en théorie des nombres. Les groupes de Galois d'extensions de corps infinis comme le groupe de Galois absolu peuvent aussi être équipés d'une topologie, la topologie de Krull, qui est à son tour centrale pour généraliser la connexion entre les corps et les groupes d'extensions de corps infinis esquissée plus haut. Une généralisation avancée de cette idée, adaptée aux besoins de la géométrie algébrique, est le groupe fondamental étale (en).
Groupes de Lie
Les groupes de Lie (du nom de Sophus Lie) sont des groupes qui ont une structure de variété différentiable, c'est-à-dire qui sont des espaces localement semblables à un espace euclidien d'une certaine dimension. Là encore, la structure additionnelle — ici, la structure de variété — doit être compatible avec celle de groupe, c'est-à-dire que les fonctions correspondant à la multiplication et à l'inverse doivent être différentiables.
Un exemple standard est le groupe général linéaire introduit plus haut : il est un sous-ensemble ouvert de l'espace de toutes les matrices carrées à n lignes et n colonnes car défini par l'ensemble des matrices carrées A telles que
- det (A) ≠ 0,
où det désigne le déterminant, qui est une application continue.
Les groupes de Lie sont d'une importance fondamentale en physique : le théorème de Noether exprime l'équivalence qui existe entre les lois de conservation et l'invariance des lois physiques en ce qui concerne les symétries en physique. Les rotations, ainsi que les translations dans l'espace et le temps, sont des symétries de base des lois de la mécanique. Elles peuvent notamment être utilisées pour construire des modèles simples — imposer par exemple un axe de symétrie à une situation conduit généralement à une nette simplification des équations nécessaires à sa description physique. Une autre exemple est la transformation de Lorentz, qui relie les mesures du temps et de la vitesse de deux observateurs en mouvement relatif. Elle peut être déduite par un raisonnement purement théorique sur le groupe des transformations de Galilée de l'espace de Minkowski. Ce dernier sert — en l'absence d'une gravitation significative — à modéliser l'espace-temps en relativité restreinte. Le groupe des isométries de l'espace de Minkowski est appelé Groupe de Poincaré. De ce fait, celui-ci joue un rôle pivot en relativité restreinte et, par conséquent, pour la théorie quantique des champs.
