Groupe sporadique - Définition

Organisation

Parias

Sur les 26 groupes sporadiques, 20 sont des sous-groupes ou des quotients de sous-groupes du groupe Monstre. Les six exceptions sont J₁, J₃, J₄, O'N, Ru et Ly. Ces six groupes sont quelquefois dénommés « parias ».

Les 20 groupes restants peuvent être organisés en trois générations.

Groupes de Mathieu

La première génération de groupes sporadiques sont les groupes de Mathieu M₁₁, M₁₂, M₂₂, M₂₃ et M₂₄ sont des groupes de permutation multiplement transitifs. Tous sont des sous-groupes de M₂₄, groupe de permutation sur 24 éléments.

Réseau de Leech

La deuxième génération rassemble tous les quotients de sous-groupes du groupe des automorphismes du réseau de Leech :

• Co₁ : quotient du groupe des automorphismes par son centre ;
• Co₂ : stabilisateur d'un vecteur de type 2 ;
• Co₃ : stabilisateur d'un vecteur de type 3 ;
• Suz : groupe des automorphismes préservant une structure complexe (modulo son centre) ;
• McL : stabilisateur d'un triangle de type 2-2-3 triangle ;
• HS : stabilisateur d'un triangle de type 2-3-3 triangle ;
• J₂ : groupe des automorphismes préservant une structure quaternionique (modulo son centre).

Autres sous-groupes du Monstre

La troisième génération est constituée de sous-groupes fortement liés au groupe Monstre M:

• B ou F₂ : possède un double recouvrement qui est le centralisateur d'un élément d'ordre 2 dans M ;
• Fi₂₄′ : possède un triple recouvrement qui est le centralisateur d'un élément d'ordre 3 dans M (dans la classe de conjugaison 3A) ;

• Fi₂₃ : sous-groupe de Fi₂₄′ ;
• Fi₂₂ : possède un double recouvrement qui est un sous-groupe de Fi₂₃ ;

• Th : Le produit de Th et d'un groupe d'ordre 3 est le centralisateur d'un élément d'ordre 3 dans M (dans la classe de conjugaison 3C) ;
• HN : Le produit de HN et d'un groupe d'ordre 5 est le centralisateur d'un élément d'ordre 5 dans M ;
• He : Le produit de He et d'un groupe d'ordre 7 est le centralisateur d'un élément d'ordre 7 dans M ;
• M : le groupe Monstre lui-même fait partie de cette génération.

Cette série ne se limite pas à cette génération : le produit de M₁₂ et d'un groupe d'ordre 11 est le centralisateur d'un élément d'ordre 11 dans M.

Si on considère le groupe de Tits ²F₄(2)′ comme un groupe sporadique, il fait également partie de cette génération : il existe un sous-groupe S₄ײF₄(2)′ normalisant un sous-groupe 2C² de B, donnant naissance à un sous-groupe 2·S₄ײF₄(2)′ normalisant un certain sous-groupe Q₈ du Monster. ²F₄(2)′ est également un sous-groupe de Fi₂₂, Fi₂₃, Fi₂₄′ et B.