Groupe sporadique - Définition
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Introduction
En mathématiques, un groupe sporadique est l'un des 26 groupes exceptionnels dans la classification des groupes simples finis. Un groupe simple est un groupe G qui ne possède aucun sous-groupe normal à part le sous-groupe trivial réduit à l'élément identité et G lui-même. Le théorème de classification affirme que les groupes simples finis peuvent être regroupés en 18 familles infinies dénombrables, plus 26 exceptions qui ne suivent pas un motif systématique (ou 27, si le groupe de Tits est considéré comme un groupe sporadique).
Le plus petit groupe sporadique possède 7 920 éléments ; le plus grand, le groupe Monstre, environ 8×1053.
Liste
Cinq des groupes sporadiques furent découverts par Émile Mathieu dans les années 1860 et les 21 autres entre 1965 et 1975. L'existence de plusieurs de ces groupes fut conjecturée avant leur construction effective. La plupart portent le nom du ou des mathématiciens qui émirent les premiers ces conjectures. L'arrivée de l'ordinateur a été déterminante dans l'identification de ces groupes, dont la liste est la suivante :
- Groupes de Mathieu M11, M12, M22, M23, M24
- Groupes de Janko J1, J2 (également appelé groupe de Hall-Janko HJ), J3, J4
- Groupes de Conway Co1, Co2, Co3
- Groupes de Fischer F22, F23, F24′
- Groupe de Higman-Sims HS
- Groupe de McLaughlin McL (noté aussi Mc)
- Groupe de Held He
- Groupe de Rudvalis Ru
- Groupe de Suzuki Suz
- Groupe de O'Nan O'N
- Groupe de Harada-Norton HN (noté aussi F5)
- Groupe de Lyons Ly
- Groupe de Thompson Th (noté aussi F3)
- Groupe Bébé Monstre B (noté aussi F2)
- Groupe Monstre M, ou groupe de Fischer-Griess (noté aussi F1)
Les représentations sur les corps finis de tous les groupes sporadiques ont été calculées, excepté pour le groupe Monstre.
Tableau
Le tableau suivant donne la liste des groupes sporadiques par ordre croissant (suivant suite A001228 de l’OEIS).
| Groupe | Ordre | Factorisation | Estimation |
|---|---|---|---|
| M11 | 7 920 | 24·32·5·11 | ≈ 8×103 |
| M12 | 95 040 | 26·33·5·11 | ≈ 1×105 |
| J1 | 175 560 | 23·3·5·7·11·19 | ≈ 2×105 |
| M22 | 443 520 | 27·32·5·7·11 | ≈ 4×105 |
| J2 ou HJ | 604 800 | 27·33·52·7 | ≈ 6×105 |
| M23 | 10 200 960 | 27·32·5·7·11·23 | ≈ 1×107 |
| HS | 44 352 000 | 29·32·53·7·11 | ≈ 4×107 |
| J3 ou HJM | 50 232 960 | 27·35·5·17·19 | ≈ 5×107 |
| M24 | 244 823 040 | 210·33·5·7·11·23 | ≈ 2×108 |
| McL | 898 128 000 | 27·36·53·7·11 | ≈ 9×108 |
| He | 4 030 387 200 | 210·33·52·73·17 | ≈ 4×109 |
| Ru | 145 926 144 000 | 214·33·53·7·13·29 | ≈ 1×1011 |
| Suz | 448 345 497 600 | 213·37·52·7·11·13 | ≈ 4×1011 |
| O'N | 460 815 505 920 | 29·34·5·73·11·19·31 | ≈ 5×1011 |
| Co3 | 495 766 656 000 | 210·37·53·7·11·23 | ≈ 5×1011 |
| Co2 | 42 305 421 312 000 | 218·36·53·7·11·23 | ≈ 4×1013 |
| Fi22 | 64 561 751 654 400 | 217·39·52·7·11·13 | ≈ 6×1013 |
| F5 ou HN | 273 030 912 000 000 | 214·36·56·7·11·19 | ≈ 3×1014 |
| Ly | 51 765 179 004 000 000 | 28·37·56·7·11·31·37·67 | ≈ 5×1016 |
| F3 ou Th | 90 745 943 887 872 000 | 215·310·53·72·13·19·31 | ≈ 9×1016 |
| Fi23 | 4 089 470 473 293 004 800 | 218·313·52·7·11·13·17·23 | ≈ 4×1018 |
| Co1 | 4 157 776 806 543 360 000 | 221·39·54·72·11·13·23 | ≈ 4×1018 |
| J4 | 86 775 571 046 077 562 880 | 221·33·5·7·113·23·29·31·37·43 | ≈ 9×1019 |
| Fi24' ou F3+ | 1 255 205 709 190 661 721 292 800 | 221·316·52·73·11·13·17·23·29 | ≈ 1×1024 |
| F2 ou B | 4 154 781 481 226 426 191 177 580 544 000 000 | 241·313·56·72·11·13·17·19·23·31·47 | ≈ 4×1033 |
| F1 ou M | 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000 | 246·320·59·76·112·133·17·19·23·29·31·41·47·59·71 | ≈ 8×1053 |
