Théorème de Goodstein - Définition

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- Introduction - Définition d'une suite de Goodstein - Preuve - Exemples de suites de Goodstein - Bibliographie

Exemples de suites de Goodstein

Les premières suites de Goodstein se terminent rapidement. Par exemple G(3):

Base	Notation héréditaire	Valeur	Notes
2	2¹ + 1	3	Le 1 représente 2⁰.
3	3¹ + 1 − 1 = 3	3	On change 2 en 3, puis on soustrait 1
4	4¹ − 1 = 3	3	On change 3 en 4 puis on soustrait 1
5	3 − 1 = 2	2	Puisque la base utilisée est supérieure aux chiffres de la décomposition, les changements de base ultérieurs sont sans effet.
6	2 − 1 = 1	1
7	1 − 1 = 0	0

Les suites de Goodstein croissent en général pendant un grand nombre d'étapes. Par exemple, la suite G(4) commence comme suit :

Notation héréditaire	Valeur
2²	4
2·3² + 2·3 + 2	26
2·4² + 2·4 + 1	41
2·5² + 2·5	60
2·6² + 6 + 5	83
2·7² + 7 + 4	109
...
2·11² + 11	253
2·12² + 11	299
...
2·23²	1058
24²+23·24+23	1151
...

La suite G(4) continue à croître.

Lorsqu'on atteint la base $b = 3 \times 2^{27} -1 = 402653183$ , le terme de la suite vaut b² = 162129585780031489.

Lorsqu'on atteint la base $B = (b+1)2^b -1 = 3 \times 2^{402653210} - 1$ , le terme de la suite vaut B.

La suite se met enfin à décroître, et atteint la valeur nulle pour la base $3 \times 2^{402653211} - 1$ qui, curieusement, est un nombre de Woodall, comme toutes les autres bases finales pour des valeurs initiales supérieures à 4. La base à laquelle la suite G(4) se termine possède plus de 120 millions de chiffres, ce qui signifie que le nombre de termes de la suite G(4) est de l'ordre de $10120000000$ .

Cependant, l'exemple de G(4) ne donne pas encore une idée suffisante de la vitesse à laquelle la suite de Goodstein peut croître. G(19) croît beaucoup plus rapidement et commence comme suit :

Notation héréditaire	Valeur
$2^{2^2}+2+1$	19
$3^{3^3}+3$	7625597484990
$4^{4^4}+3$	environ 1.3 × 10¹⁵⁴
$5^{5^5}+2$	environ 1.8 × 10²¹⁸⁴
$6^{6^6}+1$	environ 2.6 × 10³⁶³⁰⁵
$7^{7^7}$	environ 3.8 × 10⁶⁹⁵⁹⁷⁴
$7 \times 8^{(7 \times 8^7 + 7 \times 8^6 + 7 \times 8^5 + 7 \times 8^4 + 7 \times 8^3 + 7 \times 8^2 + 7 \times 8 + 7)}$ $+ 7 \times 8^{(7 \times 8^7 + 7 \times 8^6 + 7 \times 8^5 + 7 \times 8^4 + 7 \times 8^3 + 7 \times 8^2 + 7 \times 8 + 6)}$ $+ ... \,\;$ $+ 7 \times 8^{(8+2)} + 7 \times 8^{(8+1)} + 7 \times 8^8 + 7 \times 8^7 + 7 \times 8^6$ $+ 7 \times 8^5 + 7 \times 8^4 + 7 \times 8^3 + 7 \times 8^2 + 7 \times 8 + 7$	environ 6 × 10^15151335
$7 \times 9^{(7 \times 9^7 + 7 \times 9^6 + 7 \times 9^5 + 7 \times 9^4 + 7 \times 9^3 + 7 \times 9^2 + 7 \times 9 + 7)}$ $+ 7 \times 9^{(7 \times 9^7 + 7 \times 9^6 + 7 \times 9^5 + 7 \times 9^4 + 7 \times 9^3 + 7 \times 9^2 + 7 \times 9 + 6)}$ $+ ... \,\;$ $+ 7 \times 9^{(9+2)} + 7 \times 9^{(9+1)} + 7 \times 9^9 + 7 \times 9^7 + 7 \times 9^6$ $+ 7 \times 9^5 + 7 \times 9^4 + 7 \times 9^3 + 7 \times 9^2 + 7 \times 9 + 6$	environ 4.3 × 10^369693099
...

En dépit de sa rapide croissance, le théorème de Goodstein établit que chaque suite de Goodstein se termine par 0, quelle que soit la valeur initiale de m. À titre d'exemple, le nombre de termes de la suite G(5) se calcule comme suit. Posons :

g (n) = n 2 n

k fois

N = g M (M), P = g N (N), Q = g P (P)

Le nombre de termes de la suite G(5) est alors Q-1.

Bibliographie

R. Goodstein, « On the restricted ordinal theorem », dans Journal of Symbolic Logic, 9 (1944), 33-41

L. Kirby et J. Paris, « Accessible independence results for Peano arithmetic », dans Bull. London. Math. Soc., 14 (1982), 285-93

Patrick Dehornoy, « L'infini est-il nécessaire ? », dans Pour la Science, 278 (2000), 102-106

Preuve

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