Théorie des catégories - Définition

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- Introduction - Éléments de base - Exemples - Définition - Propriétés des flèches - Catégorie duale - Remarques - Somme et produit d'une famille d'objets en théorie des catégories

Définition

Composition des morphismes

Associativité de la composition

Une catégorie $\mathcal C$ , dans le langage de la théorie des classes, est la donnée de quatre éléments :

d'une classe dont les éléments sont appelés objets,
d'un ensemble $\mathrm{Hom}\big(A,B \big)$ , pour chaque paire d'objets $\quad A$ et $\quad B$ , dont les éléments $\quad f$ sont appelés morphismes (ou flèches) entre $\quad A$ et $\quad B$ , et sont parfois notés $f:A\rightarrow\; B$ ,
d'un morphisme $\mathrm{id}_A:A\rightarrow\;A$ , pour chaque objet $\quad A$ , appelé identité sur $\quad A$ ,
d'un morphisme $g\circ f:A\rightarrow\;C$ pour toute paire de morphismes $f:A\rightarrow\;B$ et $g:B\rightarrow\;C$ , appelé composée de $\quad f$ et $\quad g$ , tel que :

la composition est associative : pour tous morphismes $f:c\rightarrow\;d$ , $g:b\rightarrow\;c$ et $h:a\rightarrow\;b$ ,

les identités sont des éléments neutres de la composition : pour tout morphisme $f:A\rightarrow\;B$ ,

On demande aussi que : $\mathrm {Hom} (A, B) \cap \mathrm {Hom} (C, D) = \varnothing$ si $\big(A, B\big)\neq \big(C, D\big)$ .

Lorsqu'une catégorie est courante, certains lui donnent comme nom l'abréviation du nom de ses objets, entre parenthèses, pour signaler qu'il s'agit de leur catégorie ; nous suivrons ici cette convention.

Une sous-catégorie de $\mathcal C$ est une catégorie dont les objets sont des objets $\mathcal C$ et dont les flèches sont des flèches (mais pas nécessairement toutes les flèches) de $\mathcal C$ entre deux objets de la sous-catégorie.

Propriétés des flèches

Définitions

Une flèche $f:A\rightarrow\; B$ est dite un monomorphisme lorsqu'elle vérifie la propriété suivante : pour tout couple $g,h\,$ de flèches $E\rightarrow\; A$ (et donc aussi pour tout $E\,$ ), si $f\circ g=f\circ h$ , alors $g=h\,$ .

Une flèche $f:A\rightarrow\; B$ est dite un épimorphisme lorsqu'elle vérifie la propriété suivante : pour tout couple $g,h\,$ de flèches $B\rightarrow\; E$ (et donc aussi pour tout $E\,$ ), si $g\circ f=h\circ f$ , alors $g=h\,$ .

Les notions de monomorphisme et d'épimorphisme sont duales l'une de l'autre : une flèche est un monomorphisme si et seulement si elle est un épimorphisme dans la catégorie duale.

Isomorphisme

Une flèche $f:A\rightarrow\; B$ est dite un isomorphisme s'il existe une flèche $g:B\rightarrow\; A$ telle que $g\circ f=I_A$ et $f\circ g=I_B$ . Cette notion est autoduale.

Exemples

Dans la catégorie des ensembles, les monomorphismes sont les injections, les épimorphismes sont les surjections et les isomorphismes sont les bijections.
Un contre-exemple important en théorie des catégories : un morphisme peut à la fois être un monomorphisme et un épimorphisme, sans être pour autant un isomorphisme ; pour voir ce contre-exemple, il faut se placer dans la catégorie des anneaux commutatifs unitaires, et considérer la flèche (unique!) $\mathbb Z\rightarrow\mathbb Q$ : elle est un monomorphisme car provient d'une application injective, un épimorphisme par localisation, mais n'est clairement pas un isomorphisme!
On trouve aussi de tels épimorphisme-monomorphisme non-isomorphiques dans la catégories des espaces topologiques : toute injection y est un monomorphisme, toute surjection est un épimorphisme, les isomorphismes sont les homéomorphismes, mais il y a des fonctions continues à la fois injectives et surjectives qui ne sont pas des homéomorphismes : par exemple l'identité sur un ensemble muni de deux topologies différentes, l'une plus grossière que l'autre.
Dans la catégorie des ensembles ordonnés les isomorphismes sont les bijections croissantes (elles sont nécessairement strictement croissantes).

Catégorie duale

À partir d'une catégorie $\mathcal C$ , on peut définir une autre catégorie $\mathcal C^{op}$ (ou $\mathcal C ^ o$ ), dite opposée ou duale, en prenant les mêmes objets, mais en inversant le sens des flèches.

Plus précisément : $Hom_{\mathcal C^{op}}(A,B)=Hom_{\mathcal C}(B,A)$ , et la composition de deux flèches opposées est l'opposée de leur composition :

Il est clair que la catégorie duale de la catégorie duale est la catégorie de départ : $(\mathcal C^{op})^{op}=\mathcal C$ .

Cette dualisation extrêmement simple permet de symétriser la plupart des énoncés, ce qui peut être douloureux pour les débutants...

Exemples

Remarques

- Introduction - Éléments de base - Exemples - Définition - Propriétés des flèches - Catégorie duale - Remarques - Somme et produit d'une famille d'objets en théorie des catégories

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