Surjection - Définition
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Introduction
En mathématiques, une surjection ou application surjective est une application pour laquelle tout élément de l'ensemble d'arrivée a au moins un antécédent, c'est-à-dire est image d'au moins un élément de l'ensemble de départ. Il est équivalent de dire que l'ensemble d'arrivée est égal à l'ensemble image.
Il est possible d'appliquer l'adjectif « surjectif » à une fonction (voire à une correspondance) dont le domaine de définition n'est pas tout l'ensemble de départ, mais en général le terme « surjection » est reservé aux applications (qui sont définies sur tout leur ensemble de départ), auxquelles nous nous limiterons dans cet article (pour plus de détails, voir le paragraphe Fonction et application de l'article Application).
Pour désigner les ensembles de départ et d'arrivée d'une surjection, il est usuel de dire « de A sur B » au lieu de « de A dans B » comme pour une application en général.
Dans le cas d'une fonction d'une variable réelle à valeurs réelles, sa surjectivité est équivalente au fait que son graphe intersecte toute droite horizontale.
Une application qui est à la fois surjective et injective est une bijection.
Définition formelle
Une application f de X dans Y est dite surjective si tout élément de l'ensemble d'arrivée Y a au moins un antécédent par f, c'est-à-dire si :
ou encore : pour tout élément y de Y, il existe au moins un élément x de X tel que f(x) = y.
Définition équivalente : f est surjective si son ensemble image est égal à son ensemble d'arrivée.
Propriétés
Réduction de l'ensemble d'arrivée
Si f est une application de X dans Y et Im(f)=f(X) son ensemble image (c'est-à-dire l'ensemble des images par f des éléments de X), alors l'application
est une surjection.
En d'autres termes, si f est corestreinte à Im(f), c'est-à-dire si on remplace son ensemble d'arrivée par son ensemble image, elle devient surjective.
Décomposition canonique
Toute application f peut être décomposée comme f = i o s où s est une surjection et i une injection . Cette décomposition est unique à un isomorphisme près. Une décomposition est fournie dans le paragraphe détaillé. Une autre (équivalente) est de choisir pour s la surjection définie ci-dessus, et pour i l'injection canonique de l'image de f dans son ensemble d'arrivée.
Images directes et réciproques
Une application f : X→Y est surjective si et seulement si tout sous-ensemble B de Y est l'image directe de son image réciproque, c'est-à-dire f(f −1(B)) = B.
En effet, par définition des images directes et réciproques, f(f −1(B)) n'est autre que B∩Im(f), et dire que B est inclus dans l'image de f pour toute partie B de Y (ou ce qui revient au même : pour B=Y) revient à dire que f est surjective.
Surjectivité et composée
Soit f une application de X dans Y.
- Pour toute application g de Y dans Z,
- si g o f est surjective alors g est surjective, et
- si f et g sont surjectives alors g o f est surjective.
- f est surjective si et seulement si, pour tout Z et pour toutes applications g et h de Y dans Z, g o f = h o f entraîne g = h. En d'autres termes, les surjections sont précisément les épimorphismes dans la catégorie des ensembles.
- Si g o f est surjective alors Y=(g o f)(X)=g(f(X)) est inclus dans Im(g), donc g est surjective.
- Si f et g sont surjectives alors (g o f)(X)=g(f(X))=g(Y)=Z donc g o f est surjective.
- Si f est surjective et si g o f = h o f alors g et h coïncident sur Im(f)=Y, donc g=h.
- Réciproquement, supposons que deux applications quelconques g,h (définies sur Y et à valeurs dans un même ensemble) qui vérifient g o f = h o f sont nécessairement égales. Alors en particulier la fonction indicatrice de Im(f) est égale celle de Y, si bien que ces deux ensembles sont égaux donc f est surjective.
Réciproque partielle et axiome du choix
Soit f une application de X dans Y. S'il existe une application g de Y dans X telle que la fonction composée f o g soit égale à l'application identité sur Y, alors f est surjective (d'après une propriété vue plus haut).
Une telle application g peut être considérée comme une réciproque partielle de f. Elle est nécessairement injective.
Réciproquement, si f est surjective alors elle admet une réciproque partielle (au sens précédent). Cette propriété s'appuie sur le fait que l'on peut toujours remonter les flèches de Y vers X . Elle est toujours vraie si Y est fini. L'affirmation qu'elle est vraie pour tout ensemble Y est équivalent à l'axiome du choix.
Construction d'une fonction g | 
f o g = Identité dans Y |
Cardinaux
S'il existe une surjection de X dans Y, alors (d'après ce qui précède, donc en admettant l'axiome du choix) il existe une injection de Y dans X, autrement dit l'ensemble X a au moins autant d'éléments que l'ensemble Y, au sens des cardinaux.
