Treillis (ensemble ordonné) - Définition
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Cas particuliers
Un ensemble ordonné dans lequel chaque couple d'éléments possède une borne supérieure (ou une borne inférieure) est un demi-treillis.
Un treillis est dit distributif si la loi
Un treillis est dit borné s'il possède un maximum et un minimum.
Un treillis borné est dit complémenté si chacun de ses éléments x possède un complément y vérifiant
Un treillis distributif borné et complémenté s'appelle aussi une algèbre de Boole.
Un treillis E est dit complet si toute partie de E possède une borne supérieure, ou encore (ce qui dans un ensemble partiellement ordonné est équivalent) si toute partie de E possède une borne inférieure ; on dit aussi que E est un espace complètement réticulé. Un treillis complet est borné. (En informatique théorique, l'acronyme anglais CPO, bien sa traduction littérale soit « ordre partiel complet » , a un sens différent.)
Dans un treillis E possédant un minimum que l'on note 0, les atomes sont les éléments minimaux de E \ {0}. Par exemple dans le treillis de l'ensemble des parties d'un ensemble, les atomes sont les singletons.
Dualité
Si (E,
Théorème de dualité : Si un théorème T est vrai pour tous les treillis alors le théorème dual de T, obtenu en remplaçant toutes les occurrences de
