Treillis (ensemble ordonné) - Définition

Introduction

Le terme treillis provient de la forme du diagramme de Hasse associé à la relation d'ordre.

Un treillis (en anglais : lattice) est, en mathématiques, un ensemble partiellement ordonné dans lequel chaque couple d'éléments admet une borne supérieure et une borne inférieure. On parle aussi d'espace réticulé.

Il existe en réalité deux définitions équivalentes du treillis, une concernant la relation d'ordre citée précédemment, l'autre algébrique.

Définition algébrique

Un treillis est un ensemble E muni de deux lois internes habituellement notées et vérifiant :

• les deux lois sont commutatives et associatives
• pour tous a et b de E : (loi d'absorption)

La loi d'absorption entraîne l'idempotence de tout élément a de E pour les deux lois:

et .

À partir d'une telle structure on peut définir sur E une relation d'ordre, ici notée , de la manière suivante :

On peut montrer que cette relation est bien une relation d'ordre (éventuellement partielle). La propriété d'associativité assure la transitivité. La propriété d'idempotence assure la réflexivité. La définition même assure l'antisymétrie. Grâce aux deux propriétés d'absorption, on peut aussi montrer que

On peut alors vérifier que

ce qui assure que (E , ) est bien un treillis au sens des ordres.

Exemples

• L'ensemble des parties d'un ensemble muni de l'inclusion forme un treillis où la borne supérieure est l'union et la borne inférieure l'intersection.
• Dans le même ordre d'idée, l'ensemble des ouverts d'un espace topologique (toujours muni de l'inclusion) forme un treillis. L'ensemble des ouverts réguliers (ouverts égaux à l'intérieur de leur adhérence) d'un espace topologique forme un treillis sans atomes (voir plus loin la définition d'atome).
• L'ensemble des entiers naturels muni de son ordre usuel est un exemple de treillis incomplet, et même non borné (voir plus loin les définitions d'un treillis complet et d'un treillis borné) : il n'admet pas d'élément maximum.
• L'ensemble des entiers naturels muni de la relation "divise" forme un treillis, où la borne supérieure est le PPCM et la borne inférieure est le PGCD. C'est un treillis borné (l'élément minimum est 1, l'élément maximum est 0) et même complet.
• Soient f,g deux fonctions boréliennes sur R, intégrables au sens de Lebesgue et vérifiant f. L'ensemble des fonctions boréliennes h comprises entre f et g est un treillis non complet qui devient complet si on identifie deux fonctions égales presque partout (attention ! la borne supérieure d'une famille de fonctions boréliennes peut être non mesurable ; lorsqu'on quotiente modulo l'égalité presque-partout, on regarde ce qu'on appelle une borne essentielle supérieure, laquelle, en revenant aux fonctions, majore presque-partout chaque élément de la famille).

Définition par relation d'ordre