Lemme de Zorn - Définition
Le lemme de Zorn, appelé aussi lemme de Kuratowski-Zorn, est un théorème de la théorie des ensembles qui affirme :
- Tout ensemble inductif admet au moins un élément maximal.
L'énoncé correspond au choix habituel du couple (1,3) dans la définition d'un ensemble inductif ; si on y choisit le couple (1,4) on obtient un énoncé (apparemment) plus fort, parfois bien utile.
Ce " lemme " n'en est un que si l'on admet l'axiome du choix : en effet, les quatre énoncés obtenus en variant le choix de couple dans l'article ensemble inductif, sont équivalents à cet axiome. On peut donc aussi bien considérer le lemme de Zorn comme un axiome possible, et l'" axiome du choix " comme un théorème qui serait sa conséquence.
L'intérêt de ce lemme est de permettre une utilisation aisée de l'axiome du choix sans avoir à utiliser la théorie des ordinaux. Cependant, pour qui connaît cette dernière, les constructions par récurrence transfinie sont plus intuitives (quoique plus longues) et plus informatives.
Exemples
(en vrac et incomplet dans ce chantier)
- existence de bases d'espace vectoriel (en particulier, base de Hamel)
- existence d'ultrafiltres non principaux
- existence de la clôture algébrique d'un corps
- théorème de Hahn-Banach
- existence d'automorphismes de corps non continus de C
- existence d'idéaux maximaux (théorème de Krull)
- théorème de Tychonov (équivalent à l'axiome du choix et donc au lemme de Zorn)
- théorème de Zermelo (équivalent à l'axiome du choix et donc au lemme de Zorn)
Histoire
- Felix Hausdorff
- Kazimierz Kuratowski
- Max Zorn
