Théorème de Tychonov - Définition

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- Introduction - Démonstration dans le cas d'un produit dénombrable de métriques - Remarque - Démonstration dans le cas général - Équivalence avec l'axiome du choix

Introduction

Le théorème de Tychonov est un théorème de topologie qui affirme qu'un produit d'espaces topologiques compacts est compact au sens de la topologie produit. Il a été publié en 1930 par le mathématicien russe Andreï Nikolaïevitch Tikhonov. Il a plusieurs applications en topologie algébrique et différentielle, particulièrement en analyse fonctionnelle, pour la preuve du théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki et le compactifié de Stone-Čech.

Si ce théorème ne choque pas l'intuition dans le cas d'un produit fini, sa validité dans le cas d'un produit quelconque est plus étonnante, et se démontre par une méthode non constructive faisant appel à l'axiome du choix. On notera qu'il est aussi possible de se passer de l'axiome du choix dans le cas d'un produit dénombrable d'espaces métriques compacts, ce que nous montrons dans la première partie de cet article, la deuxième étant consacrée à la démonstration dans le cas général.

Démonstration dans le cas d'un produit dénombrable de métriques

Dans le cas du produit dénombrable de métriques, l'idée essentielle est de faire de ce produit un espace lui aussi métrique en le munissant d'une distance appropriée, ce qui permet ensuite d'utiliser le théorème de Bolzano-Weierstrass: le produit X sera compact si et seulement si de toute suite d'éléments de X on peut extraire une sous-suite convergente.

Soit donc $(X_i,d_i)i\in\mathbb{N}$ une famille de métriques compacts. On se ramène à des distances $d i$ plus petites que 1: pour chaque $i$ , la distance $d' i = M i n (d i,1)$ définit la même topologie que la distance $d i$ . Définissons sur $X=\prod_{i\in\mathbb{N}}X_i$ l'application $d$ par:

On vérifiera aisément que c'est bien une distance sur $X$ . Montrons qu'elle définit les mêmes ouverts de la topologie produit.

Soit $x\in B_d(a,r)$ , montrons que x appartient à un ouvert pour la topologie produit contenu dans $B d (a, r)$ . Par l'inégalité triangulaire, il existe $ρ > 0$ tel que $B(x,\rho)\subset B(a,r)$ . La série $\sum \frac{1}{2^{i+1}}$ est absolument convergente: son reste tend donc vers 0. Soit donc $N$ tel que $\sum_{i\ge N}\frac{1}{2^{i+1}}<\frac{\rho}{2}$ . On considère alors l'ouvert $U=B'_0(x_0,\frac{\rho}{2})\times ..\times B'_N(x_N,\frac{\rho}{2})\times\prod_{i>N}X_i$ , si $y\in U$ alors $d(x,y)=\sum_{i=0}^N \frac{1}{2^{i+1}}d'_i(x_i,y_i) +\sum_{i> N}\frac{1}{2^{i+1}} < \frac{\rho}{2}+\frac{\rho}{2}=\rho$ donc $U$ voisinage au sens de la topologie produit de $x$ inclus dans $B d (a, r)$ : la topologie produit contient donc la topologie métrique.

Réciproquement, soit U ouvert de la topologie produit, soit $x\in U$ , alors il existe $N\in \mathbb{N}$ et $r 0 .. r N > 0$ tels que $\prod_{i=0}^{N} B'_i(x_i,r_i)\times\prod_{i>N}X_i \subset U$ . On considère alors le rayon $r=Min(\frac{r_i}{2^{i+1}})$ : la boule pour $d$ de centre $x$ et de rayon r est alors incluse dans $U$ : en effet si $d (x, y) < r$ , alors $\sum_{i\in\mathbb{N}} \frac{1}{2^{i+1}}d'_i(x_i,y_i)<r$ , comme la somme est à termes positifs chaque terme est donc plus petit que r: $\forall 0\le i\le N, \frac{d'_i(x_i,y_i)}{2^{i+1}}<r<\frac{r_i}{2^{i+1}}$ donc $\forall 0\le i\le N, d'_i(x_i,y_i)<r_i$ , donc $y\in u$ . U est donc voisinage de chacun de ses points au sens de la topologie métrique: c'est donc un ouvert de la topologie métrique: la topologie métrique contient la topologie produit.

Ainsi, la topologie métrique et la topologie produit sont égales. On peut alors utiliser pour la compacité de $X$ la caractérisation séquentielle par un procédé diagonal: soit $(x^i)_{i\in\mathbb{N}}$ une suite d'éléments de X (une suite de suites). La suite $(x^0_j)_{j\in\mathbb{N}}$ admet une suite extraite $(x^0_{n_0(j)})_{j\in\mathbb{N}}$ qui converge vers $x_0\in X_0$ par compacité de $X 0$ . Alors la suite $(x^1_{n_0(j)})_{j\in\mathbb{N}}$ admet une suite extraite $(x^1_{n_1(j)})_{j\in\mathbb{N}}$ qui converge vers $x_1\in X_1$ par compacité de $X 1$ , et $n 1$ est une sous suite de $n 0$ donc $(x^0_{n_1(j)})_{j\in\mathbb{N}}$ converge vers $x 0$ . Par récurrence, supposons qu'il existe une extractrice $n p$ telle que pour tout $0\le i\le p$ , $(x^i_{n_p(j)})_{j\in\mathbb{N}}$ converge vers $x i$ . $(x^{p+1}_{n_{p}(j)})_{j\in\mathbb{N}}$ suite d'éléments de $X p + 1$ , donc admet une sous suite $(x^{p+1}_{n_{p+1}(j)})_{j\in\mathbb{N}}$ convergeant vers $x_{p+1}\in X_{p+1}$ , avec $n p + 1$ extraite de $n p$ , ce qui prouve la récurrence, or la propriété est vérifiée pour p=0 donc par récurrence on a l'existence d'éléments $x i$ tels que pour tout $p$ , il existe une extractrice $n p$ avec que pour tout $0\le i\le p$ , $(x^i_{n_p(j)})_{j\in\mathbb{N}}$ converge vers $x i$ .

L'extractrice

donne alors une suite extraite de

qui converge vers

par construction, ce qui achève la preuve puisqu'on est dans un métrique.

Remarque

- Introduction - Démonstration dans le cas d'un produit dénombrable de métriques - Remarque - Démonstration dans le cas général - Équivalence avec l'axiome du choix

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