Fonction de Heaviside
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La fonction H0.5 de Heaviside.
La fonction H0.5 de Heaviside.

En mathématiques, la fonction de Heaviside (également fonction échelon, fonction marche ou, par abus de traduction, fonction d'étape), du nom de Oliver Heaviside, est une fonction discontinue prenant la valeur 0 en les réels strictement négatifs et la valeur 1 partout ailleurs :

H(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & \mathrm{si} & x < 0 \\ 1 & \mathrm{si} & x \ge 0 \end{matrix}\right.

C'est une primitive de la fonction δ de Dirac. La valeur de H(0) a très peu d'importance, puisque la fonction est le plus souvent utilisée dans une intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la...). Certains auteurs donnent H(0) = 0, d'autre H(0) = 1. H(0) = 0,5 est souvent utilisé, parce que la fonction obtenue est ainsi très symétrique. La définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) est alors :

H(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & \mathrm{si} & x < 0 \\ \frac{1}{2} & \mathrm{si} & x = 0 \\ 1 & \mathrm{si} & x > 0 \end{matrix}\right.

C'est quelque fois noté avec un indice : H0,5(x), qui veut dire que H(0) = 0,5.

La fonction est utilisée dans les mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que...) du traitement du signal ( Termes généraux Un signal est un message simplifié et généralement codé. Il existe sous forme d'objets ayant des formes particulières. ...) pour représenter un signal obtenu en fermant un interrupteur (Un interrupteur (dérivé de rupture) est un dispositif ou organe, physique ou virtuel, permettant d'interrompre ou d'autoriser le passage d'un flux. Il ne faut pas confondre l'interrupteur qui...) à un instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas intervalle de temps. Il ne peut donc être considéré comme une durée.) donné et en le maintenant fermé indéfiniment.

Primitive

Une primitive de la fonction de Heaviside (En mathématiques, la fonction de Heaviside (également fonction échelon, fonction marche ou, par abus de traduction, fonction d'étape), du nom de Oliver Heaviside, est une fonction...) est xH(x). En effet, lorsqu'on dérive cette expression, on a :

(xH(x))' = H(x) + xδ0 avec xδ0 = 0
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