Distance ultramétrique

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Introduction

En mathématiques, et plus précisément en topologie, une distance ultramétrique est une distance d sur un ensemble X vérifiant l'inégalité ultratriangulaire :

$d (x, z) \leq max (d (x, y), d (y, z))$ .

Un espace métrique dont la distance vérifie cette propriété est dit ultramétrique.

Définition et exemples

Soit E un ensemble ; on appelle distance ultramétrique (sur E) une application $d : E \times E \to R^{+}$ vérifiant les propriétés suivantes :

Nom	Propriété
symétrie	$\forall x, y \in E, d (x, y) = d (y, x)$
séparation	$\forall x, y \in E, d (x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y$
inégalité ultratriangulaire	$\forall x, y, z \in E, d (x, z) \leq max (d (x, y), d (y, z))$

Il est à noter que l'inégalité ultratriangulaire implique l'inégalité triangulaire $\forall x, y, z \in E, d (x, z) \leq d (x, y) + d (y, z)$ .

Distance triviale

Tout ensemble peut être muni de la distance dite triviale définie par:

d (x, y) = {01 si x = y si x \neq = y

L'inégalité

d (x, z) \leq max (d (x, y), d (y, z))

est vraie, que x soit égal à z ou non. Il s'agit donc d'une distance ultramétrique.

Distance p-adique sur l'ensemble
$Q$

Pour un nombre premier p, on peut définir la valuation p-adique v_p(r) de tout nombre rationnel r non nul. Voir: Nombre p-adique

On prouve facilement que cette application vérifie

$v_{p} (r + r^{'}) \leq in f (v_{p} (r), v_{p} (r^{'}))$ et $v_{p} (- r) = v_{p} (r)$ .

On définit alors la distance p-adique sur $Q$ par:

d (x, y) = {0 p^{- v_{p} (x - y)} si x = y si x \neq = y

La première propriété précédente conduit facilement à

d (x, z) \leq max (d (x, y), d (y, z))

ce qui implique facilement l'inégalité triangulaire, les autres vérifications étant aisées.

Il s'agit donc bien d'une distance ultramétrique sur $Q$ .

Autres exemples

En génétique, la distance entre génotypes le long des branches d'un arbre phylogénétique peut être mesurée par une distance ultramétrique.

Propriétés

Voici quelques propriétés d'un espace ultramétrique, qui semblent aller contre l'intuition.

Il n'existe pas de boules sécantes, en ce sens que si deux boules ouvertes (ou deux boules fermées) ont un point commun, alors l'une contient l'autre:

$B (a, r) \cap B (a^{'}, r^{'}) \neq = \emptyset e t r \leq r^{'} \Rightarrow B (a, r) \subset B (a^{'}, r^{'})$

Tout point d'une boule en est un centre:

$x \in B (a, r) \Rightarrow B (x, r) = B (a, r)$

Dans un espace métrique, toute boule ouverte est ouverte, toute boule fermée est fermée. Dans un espace ultramétrique, on a de plus:

Toute boule fermée est ouverte. Toute boule ouverte est fermée.

Étant donné trois points, deux d'entre eux sont à la même distance du troisième, ce qui fait que tout triangle est isocèle:

$d (x, y) \neq = d (y, z) \Rightarrow d (x, z) = max (d (x, y), d (y, z))$